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实变函数论 实变函数论 实变函数论 第3讲 可数集合 问题 1. 自然数多还是有理数多？ 2. 有理数多还是无理数多？ 3. [0,1]与N不对等为什么? 要回答这些问题，请来学习 第3讲 可数集合 一.证明:[0,1]与N不对等 1−1 证明：（反证法）ϕ : N ⎯⎯→[0,1] ， 则[0,1] {x , x ,...} 1 2 n ⎯⎯→ϕ(n）＝xn 1 2 [0,1] [0, ] [ ,1] x I x I 将 三等分， 与 中至少有一个点不含点 取一个记作 ，则 ∉ 1 1 1 1 3 3 三等分I ，两个闭区间至少有一个闭子区间不含有点x ，记其一为I ，则x ∉I ， 1 2 2 2 2 无限继续下去，得到闭区间列{I n }，满足： 1 1 , 1,2,... 2 | | 0, 3 , 1,2,... ）I ⊃I n ）I → n →∞ ）x ∉I n n n+1 n n n n 3 由1））及区间套定理得存在唯一点2 a ∈In ⊂[0,1], n 1, 2,... 由3） 得 a ≠ x n , n 1, 2 , ... 这 与 a ∈[ 0 ,1]矛 盾 。 得 证 此示:无穷集可以分类,把与N对等的归为一类,得可数集合与[0,1]对 等的归为一类,得不可数集合中的连续统 二．可数集合 1．定义 ——凡与自然数集合N对等的集合称之为可数集。 可数集A 的基数记做a 等价定义 : A可数 ⇔A {a ,a ,...,a ,...} 1 2 n 故 集合A可数又称为A可列. 此“列”与数分中的不同—无重复元素 —体现了可数集的无穷性—实函中可数集必是无穷集 问题1 哪些集合是可数集呢？ 问题2 无限集一定是可数集吗？ 2. 可数集的性质 定理1 任一无限集合必有可数子集； [注1] ∀无穷集A,则A ≥a ,即a为超限数中最小的 无穷集中，可数集是最小的 定理2 可数集之任意子集，若不是有限集，就一定是可数集； [注2] 性质2的等价说法：可数集的任意无限子集仍然可数。 [注3]