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对绝对值函数的研究 顾村中学 宋毅 一、问题提出 2009年上海市高考理科试卷第13题： 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点，，，，，为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. （（去掉（6,6）就是2009年上海市高考文科试卷第14题）。 一道模拟题：如图，将网格中的三条线段沿网格线上下或左右平移，组成一个首尾相连的三角形，则三条线段一共至少需要移动多少格？ 高中教材中能寻找到绝对值函数的踪影也就只有高三文科教材第58页《统计案例》中的案例6，但在理科教材中没涉及。可是绝对值函数不仅在每年高三理科模拟试卷中多次出现，出现次数多于文科；当文理试卷中同时出现时，对理科生的要求甚至高于文科生；而且在2009年高考试卷中也出现此知识点，理科难度略高于文科。这一现象引起我的注意，促使我带领学生研究绝对值函数。 二、绝对值函数定义 形如 叫绝对值函数。 其中叫零点，叫系数。 三、课堂教学的探究过程 在课前让学生在三张纸上画出下列函数的图，并类比二次函数总结绝对值函数的特点。 （1）第一张纸上作，， 的图像（如图一）。 （2）第二张纸上作， 的图像（如图二）。 （3）第三张纸上作，的图像。（如图三） 图一 图二 图三 在课堂上我用几何画板依次做上面的三幅图，让学生对照一下自己画的图对不对。通过观察图引导学生说出三幅图的主要不同点是开口方向；研究开口方向与系数之和的关系；找到求最值的方法；观察图像以及用零点分段法取绝对值证明函数两端射线的斜率互为相反数；求特殊函数的对称轴。 1、研究绝对值函数的开口方向 师：这三幅图上的函数都是绝对值函数，这节课我们来研究绝对值函数。首先大家说说图一图二的主要区别是从什么？ 生：图一开口向上，图二开口向下（学生能很自然地和二次函数的开口方向联系上）。 师：二次函数的开口方向由二次项系数决定，那么绝对值函数开口方向由什么决定？ 生：由系数决定。 师：是由某一系数决定，还是系数之和决定？大家在想好自己的答案后不妨验证一下再回答。生：“是由系数之和决定的”，“系数之和大于零，开口向上”，“系数之和小于零，开口向下”， 还有争论声，“是系数全大于零时开口向上”。 师：是“系数全为正时开口向上”，还是“系数之和大于零，开口向上”，怎么验证？ 生：构造几个函数，系数不全为正，但和为正。 让学生任意构造几个函数，我用几何画板作图。 师生共同得到结论：当，即系数之和大于零时就开口向上；有最小值。 这时学生不难得到当，即系数之和小于零时就开口向下；有最大值。 2、用统计知识研究函数的最小值点 师：中位数的意义是什么？ 生：到各数据点的距离和最小。 安排学生做：例1已知，求Z的最小值。 教师解析：Z的几何意义是x到0，1，2,3,4的距离和。0，1，2,3,4的中位数是2。因此 时，Z的值最小，最小值为6。 教师用几何画板验证并总结:系数都为1时，绝对值函数的最小值点就是零点的中位数。 安排学生做：例2 已知，求Z的最小值。 教师解析：原式可以写成。因此Z的几何意义是x到0，1，2,3，3,4的距离和。0，1，2,3，3,4的中位数是2与3的平均数。因此时，Z的值最小，最小值为7。但因为时，函数解析式是，图像是一条线段，x到0，1，2, 3,4的距离和是定值7，因此x在上，Z的值都最小，最小值为7。 教师用几何画板验证并总结：系数不都为1，但都为正整数时，绝对值函数的最小值点仍是零点的中位数。 师：系数都为正分数时，绝对值函数的最小值点。 教师讲解：例3已知，求Z的最小值。 解析：原式可以写成。因此Z的几何意义是x到0，0,0，1，1,1,2,2，2,3，3,4，4,4的距离和。0，1，1,1,2,2，2,3，3,4，4,4的中位数是2。因此时，Z的值最小，最小值为17。 学生总结： （1）当时，最小值点为的中位数。当为奇数时，最小值点就是唯一的中位数；当为偶数时，最小值点可以取集合中任意实数。 （2）当为正整数时，绝对值函数就表示有个零点，当为奇数时，最小值点为个零点的中位数，最小值点就是唯一的中位数；当为偶数时，最小值点可以取个零点中间两位，及两位之间的任意实数。 （3） 当系数都为正分数时，求绝对值函数的最小值点的方法是：提取适当的数，使每个的系数是正整数，再根据中位数的意义求Z的最小值点。 （4）当系数不全大于零且系数之和大于零时，开口方向向上，函数有最小值，最小值点是某个零点。将零点一一代入函数，函数值最小的，对应的零点就是最小值点。 3、问题解决 设发行站的位置为，零售点到发行站的距离为 由（2）当为正整数时，