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系统与控制理论中的线性代数 南京航空航天大学 戴 华 - 1 - 第一章 基本概念 抽象代数研究的主要对象是所谓代数系统，即带有运算的集合。集合论中的概念和方 法是现代数学的基础。本章介绍现代数学的一些基本概念，主要的是集合、映射、代数运算、 等价关系与集合的分类、集合上的序结构与度量等概念。熟悉这些概念不仅对学习现代数学 是必要的，而且对学习现代系统与控制理论也是不可缺少的。 §1.1 集 合 1.1.1 集合的概念 集合是近代数学的最基本概念之一，它是由具有某种性质所确定的事物的总体。根据这 种性质可以辨别一个事物属于或不属于这个集合。属于这个集合的事物称为这个集合的元 素。通常用大写字母 表示集合，而用小写字母 表示集合的元素。以后 A, B, C, a ,b ,c , 我们用 C a N 、Q 、R 和 分别表示正整数集、有理数集、实数集和复数集。若 为集合A 的 a a A ∈ a a a A ∉ 元素，则称 属于A ，记为 ；若 不是集合A 的元素，则称 不属于A ，记为 。 明确一个集合通常有两种方法。一种是列举法，即把一个集合的元素都列举出来。例 如，集合aA 由元素a , a , a , 组成，则记为a a A, a={, a , }。另一种是概括法，即把 1 2 3 4 1 2 3 4 这个集合的元素所具有的特征性质表示出来。如果这种特征可以用一个关于元素x 的命题 x （ 是对元素 的说明，它可以是数学表达式，也可以是其它说明语句）来表示， P (x ) P (x ) 则这个集合 x A 通常表示为 ，其意思为A 是具有性质 的元素 所成的集 A x {P |x ( )} P (x ) 合。 由有限个元素作成的集合称为有限集；否则称为无限集a a ,。当, a , 为有限集A 的 1 2 n 全部元素时，则记 。不含任何元素的集合称为空集，记为 A a{ a, , a, 1 } 2 n φ 。 设 A ，B 是两个集合，如果集合 A 的元素都是集合B 的元素，则称A 为 B 的子集，或 B A ⊇A B ⊆ 称 B 包含 A ，记为 或 。例如， 表示区间 上定义的可积函数全体， L[a ,b ] [ ,a]b 表示区间 上定义的连续函数全体，则有 。为了方便，我们规 C [a ,b ]