“不等式恒成立”问题研究.ppt

不等式恒成立问题研究 内容分析： “不等式恒成立” 问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式、三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点。 “不等式恒成立”问题涉及到一次函数、二次函数的性质、图象渗透和换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法。 “不等式恒成立”问题对培养学生的综合解题能力，培养学生思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。 “不等式恒成立”问题是历年高考的热点。 学习目标： 1、通过本节课，使学生能够掌握“恒成立”问题的常见解法，提高横向、逆向、创造性的思维能力。 2、在自主探究和合作交流中，经历知识点产生和形成过程，不仅重视对研究的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透以及分析问题和解决问题能力的培养。 3、进一步提升理性思维能力，激发学生更积极主动的学习精神和探究勇气。 过程与方法： 培养分析、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想。 学习重点： 理解解决不等式恒成立问题的实质，有效掌握不等式恒成立问题的基本技能。 学习难点： 利用转化思想，通过函数的性质与图像化归至最值问题来处理恒成立问题。 一、了解高考 “不等式恒成立”的数学问题，不但在近几年高考中频繁出现，而且出现的试题大多数以大题为主。2009－2011高考试卷中“不等式恒成立”的题目如下： 二、感悟高考 归纳总结 概括方法 总结反思 1、通过今天这堂复习课，我们领略了解决恒成立问题的多种常见求解方法（①、化归最值②、分离参数③、数形结合），事实上，这些方法都不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决．但是，不管哪一种解法，都渗透了数学最本质的思想，即通过化归到函数求其最值来处理． 2、含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。 五、课后探究： 已知：R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当 时，有 恒成立，求实数m的取值范围. 设函数 ,对称轴为 * “不等式恒成立”问题研究 数学组 许世林 湖北文第20题 安徽文第15题理第9题 北京文第18题理第18题 福建文第22题 陕西理第15题第22题 全国统一文第21题 陕西文第15题第21题 浙江理第22题 江苏理第19题 湖南理第22题 2011 39套 山东理第14题，全国II文第22题理第20题 全国Ⅲ理第21题 湖北理第21题 海南文第20题理第21题 天津理第16题 湖南理第20题 安徽文第17题理第19题 四川理第22题 江西文第17题理第19题 福建文第22题理第21题 2010 39套 重庆理第5题 浙江文第21题理第22题 上海理第11题 辽宁理第21题 江西理第15，17题 湖北文理21题 北京理第18题文18题 湖南理第8题 上海春季招生第17题 2009年 39套 0≤a≤8 三、自主探究 第四小组汇报探究结果 第1小组 第2小组 第4、5小题 点评 书写探究结果 题号 方法一、数形结合（转化为函数求最值） 方法二、分离变量 （转化为函数求最值） x 1 o x＞－1或x＜－2 y 1 3 x 数形结合 o y x 3 1 o y x 3 1 y 1 3 x o y x 3 1 X0 x0 x=0 y 1 3 x o y x 3 1 点评：在不等式中出现了两个字母：x及a,而我们都习惯把x看成是一个变量，a作为常数.本题可以转换视角，可将a视作自变量，则上述问题即可转化为关于a的一次型函数大于0恒成立的问题.此类题本质上是利用了一次函数在闭区间上的图象是一条线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可 解决恒成立的不等式问题，可以考虑如下方法： 1、直接转化为求函数的最值 四、合作探究 点评 书写探究结果 题号 第七小组 第六小组 例2 第五小组 第三小组 例1 四、合作探究 数形结合 四、合作探究 求函数最值 分离变量后求函数最值 x y o 1 2 y1=(x-1)2 y2=logax 数形结合 解析：由 得到： 因为为奇函数，故有 又因为 为R上减函数， 对 恒成立