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全国高中数学联赛模拟试题(十) （命题人：杨建忠 审题人：李潜） 第一试 一、选择题：（每小题6分，共36分） 设集合M={(2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f：M→N使对任意的x∈M，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是 （A）45 （B）27 （C）15 （D）11 已知sin2?=a，cos2?=b，0＜?＜，给出值的五个答案： ①； ②； ③； ④； ⑤． 其中正确的是： （A）①②⑤ （B）②③④ （C）①④⑤ （D）③④⑤ 若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是 （A）64 （B）66 （C）68 （D）70 递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为 （A）729 （B）972 （C）243 （D）981 （其中，[x]表示不超过x的最大整数）的值为 （A） （B） （C） （D） 一个五位的自然数称为“凸”数，当且仅当它满足a＜b＜c，c＞d＞e（如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是 （A）8568 （B）2142 （C）2139 （D）1134 二、填空题：（每小题9分，共54分） 过椭圆上任意一点P，作椭圆的右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得HQ=?PH（?≥1）．当点P在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是 ． 已知异面直线a、b所成的角为60°，过空间一点P作与a、b都成角?（0＜?＜90°）的直线l，则这样的直线l的条数是f(?)= ． 不等式的解集为 ． 设复数z满足条件|z(i|=1，且z≠0，z≠2i，又复数?使得为实数，则复数?(2的辐角主值的取值范围是 ． 设a1,a2,…,a2002均为正实数，且，则a1a2…a2002的最小值是 ． 在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n（n为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为 ． 三、（20分） 已知数列{an}是首项为2，公比为的等比数列，且前n项和为Sn． 用Sn表示Sn+1； 是否存在自然数c和k，使得＞2成立． 四、（20分） 设异面直线a、b成60°角，它们的公垂线段为EF，且|EF|=2，线段AB的长为4，两端点A、B分别在a、b上移动．求线段AB中点P的轨迹方程． 五、（20分） 已知定义在R+上的函数f(x)满足 （i）对于任意a、b∈R+，有f(ab)=f(a)+f(b)； （ii）当x＞1时，f(x)＜0； （iii）f(3)=(1． 现有两个集合A、B，其中集合A={(p,q)|f(p2+1)(f(5q)(2＞0，p、q∈R+}，集合B={(p,q)|f()+=0，p、q∈R+}．试问是否存在p、q，使，说明理由． 第二试 一、（50分） 如图，AM、AN是⊙O的切线，M、N是切点，L是劣弧MN上异于M、N的点，过点A平行于MN的直线分别交ML、NL于点Q、P．若，求证：∠POQ=60°． 二、（50分） 已知数列a1=20，a2=30，an+2=3an+1(an（n≥1）．求所有的正整数n，使得1+5anan+1是完全平方数． 三、（50分） 设M为坐标平面上坐标为(p·2002,7p·2002)的点，其中p为素数．求满足下列条件的直角三角形的个数： 三角形的三个顶点都是整点，而且M是直角顶点； 三角形的内心是坐标原点． 参考答案 第一试 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C B D D B 二、填空题： 1、； 2、； 3、； 4、； 5 6、． 三、（1）； （2）不存在． 四、． 五、不存在． 第二试 一、证略； 二、n=3． 三、 p≠2,7,11,13时，324个；p=2时，162个；p=7,11,13时，180个． 1 M A P Q N L O