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全国高中数学联赛模拟试题(五) （命题人：罗增儒） 第一试 选择题：（每小题6分，共36分） 空间中n（n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论 没有任何两个平面互相平行； 没有任何三个平面相交于一条直线； 平面间的任意两条交线都不平行； 平面间的每一条交线均与n(2个平面相交． 其中，正确的个数为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c∈(a,b)时，f(c)的近似值可表示为 （A） （B） （C） （D） 设a＞b＞c，a+b+c=1，且a2+b2+c2=1，则 （A）a+b＞1 （B）a+b=1 （C）a+b＜1 （D）不能确定，与a、b的具体取值有关 设椭圆的离心率，已知点到椭圆上的点的最远距离是，则短半轴之长b= （A） （B） （C） （D） S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A的个数是 （A） （B） （C） （D） 长方体ABCD(A1B1C1D1，AC1为体对角线．现以A为球心，AB、AD、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V2、V3、V4，则有 （A）V4＜V1+V2+V3 （B）V4=V1+V2+V3 （C）V4＞V1+V2+V3 （D）不能确定，与长方体的棱长有关 填空题：（每小题9分，共54分） 1、已知，则k的取值范围为 ． 2、等差数列{an}的首项a1=8，且存在惟一的k使得点(k,ak)在圆x2+y2=102上，则这样的等差数列共有 个． 3、在四面体P(ABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，则的取值范围为 ． 4、动点A对应的复数为z=4(cos?+isin?)，定点B对应的复数为2，点C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线交OA与D，则D所在的轨迹方程为 ． 5、被8所除得的余数为 ． 6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为 ． （20分） 已知抛物线y2=2px(p＞0)的一条长为l的弦AB．求AB中点M到y轴的最短距离，并求出此时点M的坐标． （20分） 单位正方体ABCD(A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为点M，正方形A1B1C1D1的中心为点N，连AN、B1M． （1）求证：AN、B1M为异面直线； （2）求出AN与B1M的夹角． （20分） 对正实数a、b、c．求证： ≥9． 第二试 （50分） 设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△PAB的内切圆与边AB的切点．乘积PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA·PB取最小值时， （1）证明：AB≥2BC； （2）求AQ·BQ的值． （50分） 给定由正整数组成的数列 （n≥1）． （1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点 (a1,a2)，(a3,a4)，…，(a2k-1,a2k)，… 均在曲线x2+xy(y2+1=0上． （2）若设f(x)=xn+xn-1(anx(an-1，g(x)=x2(x(1，证明：g(x)整除f(x)． （50分） 我们称A1,A2,…,An为集合A的一个n分划，如果 （1）； （2），1≤i＜j≤n． 求最小正整数m，使得对A＝{1,2,…,m}的任意一个13分划A1,A2,…,A13，一定存在某个集合Ai(1≤i≤13)，在Ai中有两个元素a、b满足b＜a≤b． 参考答案 第一试 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C A C B C 二、填空题： 1、 ； 2、17； 3、； 4、； 5、4； 6、117600． 三、． 四、（1）证略； （2）． 五、证略． 第二试 一、（1）证略（提示：用面积法，得PA·PB最小值为2，此时∠APB＝90°）； （2）AQ·BQ=1． 二、证略（提示：用数学归纳法）． 三、m=117． 1