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全国高中数学联赛模拟试题(七) （选题人：李潜） 第一试 一、选择题：（每小题6分，共36分） a、b是异面直线，直线c与a所成的角等于c与b所成的角，则这样的直线c有 （A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）无数条 已知f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)(g(x)=x2+2x+3，则f(x)+g(x)= （A）(x2+2x(3 （B）x2+2x(3 （C）(x2(2x+3 （D）x2(2x+3 已知△ABC，O为△ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=，则使AB+BC+CA≥m(AO+BO+CO) 成立的m的最大值是 （A）2 （B） （C） （D） 设x=0.820.5，y=sin1，z=log3则x、y、z的大小关系是 （A）x＜y＜z （B）y＜z＜x （C）z＜x＜y （D）z＜y＜x 整数的末尾两位数字是 （A）10 （B）01 （C）00 （D）20 设(a,b)表示两自然数a、b的最大公约数．设(a,b)=1，则(a2+b2,a3+b3)为 （A）1 （B）2 （C）1或2 （D）可能大于2 二、填空题：（每小题9分，共54分） 若f(x)=x10+2x9(2x8(2x7+x6+3x2+6x+1，则f((1)= ． 设F1、F2是双曲线x2(y2=4的两个焦点，P是双曲线上任意一点，从F1引∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹方程是 ． 给定数列{xn}，x1=1，且，则x1999(x601= ． 正方体ABCD(A1B1C1D1的棱长为1，E是CD中点，F是BB1中点，则四面体AD1EF的体积是 ． 在坐标平面上，由条件所限定的平面区域的面积是 ． 12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同的桌子．若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要 周． 三、（20分） 已知椭圆过定点A(1,0)，且焦点在x轴上，椭圆与曲线|y|=x的交点为B、C．现有以A为焦点，过B、C且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标M(m,0)．当椭圆的离心率e满足，求实数m的取值范围． 四、（20分） a、b、c均为实数，a≠b，b≠c，c≠a． 证明：≤＜2． 五、（20分） 已知f(x)=ax4+bx3+cx2+dx，满足 （i）a、b、c、d均大于0； （ii）对于任一个x∈{(2, (1,0,1,2}，f(x)为整数； （iii）f(1)=1,f(5)=70． 试说明，对于每个整数x，f(x)是否为整数． 第二试 一、（50分） 设K为△ABC的内心，点C1、B1分别为边AB、AC的中点，直线AC与C1K交于点B2，直线AB于B1K交于点C2．若△AB2C2于△ABC的面积相等，试求∠CAB． 二、（50分） 设，f(x)=(x(w)(x(w3)(x(w7)(x(w9)． 求证：f(x)为一整系数多项式，且f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积． 三、（50分） 在圆上有21个点．求在以这些点为端点组成的所有的弧中，不超过120°的弧的条数的最小值． 参考答案 第一试 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D A C B C C 二、填空题： 1、4； 2、x2+y2=4； 3、0； 4、； 5、16； 6、5． 三、． 四、证略． 五、是． 第二试 一、60°； 二、证略． 三、100． 1