第1章 - 数值计算的基本概念.ppt

第一讲 数值计算的基本概念 引言 误差与有效数字 算法的稳定性与病态问题 计算机计算的几个问题 算法设计的原则 解决现代工程技术问题的基本过程（如左图） 数值分析是研究适合于在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值计算方法。 2. 相对误差 结论: 定义： 定理（有效数字与相对误差的关系）： 例8 2、对于不同的算法，要注意收敛速度，讲效率 二、 数值计算中要构造和使用数值稳定的计算方法 2．防止两接近的数相减 3、设法控制误差的传播 用递推关系进行计算时必须注意误差的积累. 逆向递推： 三、计算过程中应十分小心处理病态的数学问题 * * 作为一小节内容 §1 引言 一、数值学科的发展历史及现状 现状 特点： （1）应用广泛 边缘学科 计算机模拟实验（指纹、人脸识别等，爆炸模拟等） 科学与工程计算 （2）主要工作 误差评估（讨论方法的好坏） 寻求适合计算机计算的方法 抽象性； 严密的科学性； 应用的广泛性； 使用的高技术性 历史 （经典的工程数学问题） （1）应用方面：解决一些不能求得精确解的问题（近似解） 二、数值分析的研究对象 对象—— 分析实际工程计算问题，由数学模型提出求解的数值计算方法并编程计算出结果，然后进行误差分析。 （2）数值计算本身的特点 构造性： 递推性： 离散化： 近似替代： 计算离散点上的近似值；有可靠的理论分析；算法理论主要是连续系统的离散化数值求解。 方法的构造，解的存在唯一性的证明 复杂计算过程转化成简单的计算过程的多次重复（适合计算机计算） 在误差允许的范围内，无限次的计算用有限次计算替代 模拟仿真： 可通过计算机的仿真实验验证实际的工程计算 分析实际问题 数值计算方法 数学模型 程序设计 上机计算结果 实际工程计算软件的基础是数值计算方法—算法，是数值分析课程研究的核心对象。 构造算法的基本手段：近似 研究算法的核心问题：近似对计算的影响—误差分析 结论： §2 误差与有效数字 一、误差种类与来源 认识实际问题 观测误差 数值计算方法 数学模型 程序设计 上机计算求出结果 模型误差 截断误差 舍入误差 观测误差（或称测量误差） 由数据观测产生的误差 模型误差 数学模型是实际问题的抽象和简化，其间存在误差 截断误差（或方法误差） 由于问题不能精确求解，近似计算的方法所引起 舍入误差（课后详细阅读课本p.22相关内容） 计算机实现计算时，机器的有限字长所造成 例1 解: 3216… 失之毫厘,差之千里！ 原因 —— 误差的传播与累积 二、误差的基本概念(从误差度量上来说) 1. 绝对误差 定义：设某量的准确值为x， 是 x 的近似值， 绝对误差限。 例2 电流表、电压表等仪器。 例3 通常 x 是未知的，故 未知 ， 但一般地 ? 已知。 绝对误差不是误差的绝对值，即 可正可负。 * 的绝对误差。 为 x 称 * - = x x x e ) ( 定义： 设某量的准确值为 x， 是 x 的近似值， 准确值之比 为 的相对误差。 称δ为 的相对误差限。 例4 解: 但 是 的一个好的近似， 不是 的好的近似. 称绝对误差与 Why? 近似值的相对误差是近似值精确度的基本度量，一个近似值 的相对误差越小，则近似值越精确。 通常将 作为 的相对误差。 较小时 相对误差限δ是未知的，但可以确定 是一个无量纲的数， 。 三、有效数字 设 x 为准确值， 为 x 的近似值且 可表示为 若 的绝对误差 其中 为 0, 1, … , 9 中的一个数字。 误差不超过m-n位的半个单位 即 有n位有效数字， 或说 准确到 m-n 位。 字为 的有效数字，记为n， 则称该位到 的第一位非零数 满足 ， 有效数字的位数不能仅考虑 例5 5位有效数字 1位有效数字 一个十进制数近似值的有效数字，不受单位制的影响。如 作为 的近似值，与 均为3位有效数字