第2章 - 线性方程组求解的数值方法.ppt

第二章 线性方程组求解的数值方法 引言 高斯消元法 矩阵分解法 向量范数与矩阵范数 迭代法求解 方程组的病态问题与误差分析 §1 引言 §2 高斯消元法 §3 矩阵分解法 （1）方法比较 消元法： 消元法的公式只有一组，便于计算机计算。 消元法与三角分解法间的关系： 三角分解法： （2）计算次数 注： 讨论 高斯-约当法除外 例6 用直接三角分解法解方程组 。 解： 求解： 矩阵分解： Cholesky分解： 对称正定矩阵的一种三角分解方法。 对称正定阵的定义及性质： 定义 A为对称 正定阵 4 A的特征值 。 1 A是非奇异矩阵，且A-1亦是对称正定阵； 2 A的顺序主子阵Ak 是对称正定阵 k 1,2,…,n ； 3 A的顺序主子式都大于零，即 对称正定阵的判别方法 充分条件 A为对称矩阵 A为对称矩阵 二、 矩阵Cholesky分解 定理6 （对称正定矩阵的Cholesky分解） 阵，则存在唯一的具有正对角元的下三角阵L ，使得 平方根法解线性方程组： 与直接三角分解法类似 思路： 设n阶对称正定矩阵A有分解 ,先用待定系数法求L的元 该分解称为乔勒斯基（Cholesky）分解。 素 。 求解对称正定方程组Ax b的平方根法 计算公式 ： 分解计算： 优点： 说明： 1、数值稳定。 2、计算量小，大约为 次乘除法，是一般矩阵A的LU分解 缺点： 计算lii时要开平方。 计算量的一半。 求解： 通过改进方法避免 §4 向量范数与矩阵范数 解方程组以及研究与探讨方程组本身性质的工具。 向量、矩阵与线性方程组有着密切的关系，向量、矩阵范数是 定义（向量范数）： （1）正定性 （2）齐次性 （3）三角不等式 一、向量范数的定义　 常用的向量范数： （1）向量的“∞”范数： （2）向量的“1”范数： 称为向量的能量范数。 （3）向量的“2”范数： （4）向量的能量范数： 二、向量序列的极限　　　　　　　　 设有向量序列 若n个数列收敛，即 设有向量序列 则有 定义 1. 定义 例7　 或说向量序列 的收敛 称非负实数 之间 2. 距离 为向量的任何一种意义下范数。 距离，其中 且记 定理7 为Rn中一向量序列，且 为向量的任一种范数。 证明： 由范数的等价性有： 对v 1也可采用以下证法 注： 定义 （矩阵范数） 的某个非负实值函数 若对任意的n×n矩阵A，B满足下述条件： 由于在许多应用问题中，矩阵和向量是相联系的，现引进一种 和向量范数是相容的，即对 有不等式 （1） 正定性 ： （2） 齐次性 ： （3） 三角不等式 ： 1. 矩阵范数的一般定义 类似于向量范数 矩阵的算子范数。它是由向量范数诱导出来的，并且这种矩阵范数 矩阵范数与向量范数的相容性条件 三、矩阵的范数　　　　　　　 2. 矩阵的算子范数 且有一向量范数 相应的定义一个矩阵的非负函数： （最大比值） 为矩阵A的关于向量范数　　 定理8 向量范数，则 一个矩阵范数且满足相容条件： 的算子范数或诱导范数。 定义 矩阵的算子范数 （i）因为 证明： 一个矩阵范数 满足三个条件 ， （ii） （iii） 以下证明满足相容性： （1） （2） 由x的任意性知 诱导范数的 矩阵相容性 诱导范数与其相应的向量范数相容 A的行范数 Ａ的列范数 Ａ的“2”范数或Ａ的谱范数 3. 矩阵范数公式 4. 矩阵范数的等价性 的特征值为 为A的谱半径。 向量相容性条件的矩阵范数（算子范数）。 为对称矩阵，则 四、谱半径 1. 矩阵谱半径定义： 2. 特征值界： 证明：（1） 设 为A的任一特征值，于是，存在 为满足矩阵、 注：1）由于矩阵的2范数与谱半径有关，常称“2”范数为谱模。 若 为A的特征值， 2 ATA A2,且ATA也是对称的， 2）谱模（范数）是对称矩阵A特征值的上界。 则 为A2 的特征根， 又A为对称矩阵，则 §5 迭代法求解 迭代法是一种不断套用一个迭代公式，逐步逼近方程组的精确 解（真解）的方法。适合解大型稀疏线性方程组。 直接法：解低阶稠密线性方程组 迭代法优点： ⑴计算量小，近似解精度高。 ⑵占用内存单元较少。 ⑶设计程序简单（适合计算机计算）。 定义（1）用逐步代入 求近似解的方法，称为迭代法（或