高中数学大纲版高一数学每周一练系列试题19.docVIP

高一数学 “每周一练”系列试题（19） 1．若函数y＝f（x）的值域是[，3]，求函数F（x）＝f（x）＋的值域． ．已知函数y＝f（x）为奇函数，若f（3）－f（2）＝1，求f（－2）－f（－3）的值． 已知函数f（x）＝2x－的定义域为（0,1（a为实数）． （1）当a＝－1时，求函数y＝f（x）的值域； （2）判断函数y＝f（x）的单调性（不必证明）； （3）若f（x）5在（0,1上恒成立，求a的取值范围． 设f（x）＝ax2＋bx＋c，若6a＋2b＋c＝0，f（1）f（3）0. （1）若a＝1，求f（2）的值； （2）求证：方程f（x）＝0必有两个不等实根x1、x2，且3x1＋x25. 已知：f（x）＝lg（ax－bx）（a1b0）． （1）求f（x）的定义域； （2）判断f（x）在其定义域内的单调性； （3）若f（x）在（1，＋∞）内恒为正，试比较a－b与1的大小． 解：令f（x）＝t，t∈[，3]，问题转化为求函数y＝t＋，t∈[，3]的值域， 因为函数y＝t＋在[，1]上递减，在[1,3]上递增， 又t＝时，y1＝＋2＝；t＝3时，y2＝3＋＝；t＝1时，ymin＝1＋1＝2，∴y∈[2，]． ∴函数 F（x）的值域为[2，]． 解：因为f（x）为奇函数，且f（3）－f（2）＝1， 所以f（－2）－f（－3）＝f（3）－f（2）＝1， 即f（－2）－f（－3）的值为1. 解：（1）显然函数y＝f（x）的值域为[2，＋∞． （2）当a0时y＝f（x）在（0,1上为单调增函数． 当a＝0时，f（x）＝2x在（0,1上为单调增函数． 当a0时，f（x）＝2x＋. 当 ≥1，即a∈（－∞，－2时，y＝f（x）在（0,1上为单调减函数． 当 1，即a∈（－2,0）时，（0, 为y＝f（x）的单调减区间，为y＝f（x）的单调增区间． （3）当x∈（0,1时f（x）5在定义域上恒成立， 即a2x2－5x在x∈（0,1时恒成立． 设g（x）＝2x2－5x，当x∈（0,1时g（x）∈[－3,0，只要a－3即可， ∴a的取值范围是（－∞，－3）． 解：（1）∵6a＋2b＋c＝0，a＝1， ∴f（2）＝4a＋2b＋c＝－2a＝－2. （2）证明：首先证明a≠0， ∵f（1）f（3）＝（a＋b＋c）（9a＋3b＋c）＝－（5a＋b）（3a＋b）0， 若a＝0，则f（1）f（3）＝－b2≤0与已知矛盾，∴a≠0， 其次证明二次方程f（x）＝0必有两个不等实根x1、x2， ∵f（2）＝4a＋2b＋c＝－2a， ∴若a0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c开口向上，此时f（2）0. 若a0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c开口向下，此时f（2）0. 故二次函数图像必与x轴有两个不同的交点． ∴二次方程f（x）＝0必有两个不等实根x1、x2. （或利用Δ＝b2－4ac＝b2＋4a（6a＋2b）＝b2＋8ab＋24a2 ＝（b＋4a）2＋8a20来证明） ∵a≠0， ∴将不等式－（5a＋b）（3a＋b）0两边同除以－a2得 （＋3）（＋5）0， ∴－5－3. ∴3x1＋x2＝－5. 解：（1）由ax－bx0，得（）x1. ∵1，∴x0， ∴f（x）的定义域为（0，＋∞）． （2）设x2x10，∵a1b0， ∴ax2ax1，bx1bx2，－bx2－bx1， ∴ax2－bx2ax1－bx10， ∴1， ∴f（x2）－f（x1）＝lg0， ∴f（x）在（0，＋∞）内是增函数． （3）当x∈（1，＋∞）时，f（x）f（1），要使f（x）0，须f（1）≥0，∴a－b≥1.