北京大学2005年2009年数学分析考研试题及解答.doc

4.5.9设函数在上有定义，对所有，有， 且收敛，求证：。 证明 ，，使得， 由，对上述，固定的，因而存在，当时，有 ， 于是 ， 即。 4.5.13 设在上有定义，对任意，在上可积， 且收敛，试证：。 证明 由推广的黎曼引理，对任意，有 ， 对任意，存在，有 ， ， 对上述，及固定的，，当时，有 ， 于是， ， 故结论得证。 北京大学2005年数学分析考研试题及解答 1、 设，试求和。 解 首先我们注意到在的时候是单调递增的，并且在充分大的时候，显然有 ，； 所以易知当时，， 当然此上极限可以令，，这么一个子列得到。 或者 由于 ,, 所以 ; 对于的下极限，我们注意到， 而，所以有 ， 当然下极限可以令，，这么个子列得到。 2 、（1）设在开区间内可导，且在上有界，证明：在上一致连续。 证明 由在上有界，存在，使得 ，； 对于，，由Lagrange中值定理，存在，使得 ， 这显然就是Lipschitz条件，所以由的任意性，易知在上一致连续。 （2）设在开区间上可微且一致连续，试问在上是否一定有界，若肯定回答，请证明；若否定回答，请举例说明。 解 未必有在上一定有界。 例1. 在是一致连续的，（，）， 显然在上可导，， 但在上是无界的。 例2. ,显然此函数在上一致连续,在上可导,但在上无界. 例3、 ,显然此函数在上一致连续,在上可导,但在上无界. 3 、设， （1）求的麦克劳林展开式； （2）求，。 解 ， 再由，， ， 从而， ， ， ，。 4 、试作出定义在上的一个函数使得它在原点处同时满足以下三条件： （1）的两个偏导数都存在； （2）任何方向极限都存在； （3）在原点处不连续。 解 。 显然这个函数在的时候，有偏导数存在， ，， 而对时，，， 对于方向极限，有 ， 显然沿任意方向趋向于原点时，此函数的方向极限都存在。 最后，因为沿不同方向趋向原点，不妨设，显然有不同的极限，与且都不为0，所以该函数在原点不连续。 5、 计算，其中是球面与平面的交线。 解 首先，曲线是球面与平面的交线，因为平面过原点，球面中心为原点，所以它们的交线是该球面上的极大圆。再由坐标的对称性，易知有，因此有 。 6、 设函数列满足下列条件： （1）对每一，在上连续，且有（，） （2）点点收敛于上的连续函数。 证明：在上一致收敛于。 6、设函数列在有限闭区间上连续, ,, 若在上连续,且对于每一,是单调数列, 则在上一致收敛于。 证明 方法一： 用“列紧性原理”。 用反证法。 假若在上不一致收敛于，那末，，不能得到正整数，使时， ， 从而可以得到正整数和上的点满足 ， 由魏尔斯特拉斯定理，必有收敛的子列，不妨设仍就是本身，亦即，而。 由于，故对， 可得正整数，使 ， 再从在点处连续和，得到 ， 从而存在正整数，使时， ， 但由于对每个固定的， 单调， 因之当，时， ， 这显然与， 矛盾，事实上，总可以取，同时成立。 所以假设不成立，故原结论得证。 方法二： 用“有限覆盖定理”。 由,； 对,，使得 ， 由于在处连续， 必存在，使得当且时，仍有 ， （1） 于是这些区间的并 构成的一个开覆盖。 由有限覆盖定理知道，从中可以选出有限可开区间， 它们仍能构成的一个开覆盖。 即； ，， ； （2） 命， 对任意，必存在中的某个开区间，使得 ，且 ，（3） 由的单调性和（3），知道 当时，成立 ； 于是，当时，， 对一切成立。 这正说明了 在上一致收敛。 北京大学2009年数学分析考研试题 1、 证明：闭区间上的连续函数能取到最大值和最小值。 2、 设是区间上的有界且一致连续的函数，求证：在上一致连续。 3 、设是周期为的连续函数，且其Fourier级数处处收敛，求证这个Fourier级数处处收敛到。 4 、设和都是有界数列，且，若存在， 求证：也存在。 5 、是否存在的连续可导函数满足：且？ 6 、已知是上的单调连续函数，且， 求证：。 7 、求曲线积分，这里是球面与交成的曲线。 8 、设，，求的最大最小值。 9 、设，且对任何，都有， 求证：在上单调不减。 10、 已知是上的正的连续函数，且， 求证：。 北京大学2009年数学分析考研试题解答 1、设函数在闭区间上连续，记 ， ， 则必存在，使得 。 也就是说，有界闭区间上的连 续函数必能取到它在这个区间 上的最大值和最小值。 证明 因为函数在闭区间上连续， 所以函数在闭区间上有界