33函数性态的研究.ppt

例3. 确定 二、函数的极值 例5. 求函数 例6. 求函数 特别: 例10. 判断曲线 例12. 求曲线 例13. 求曲线 1. 水平与铅直渐近线 2. 斜渐近线 例15. 求曲线 函数图形的描绘 2.斜渐近线 斜渐近线求法: §3.3 函数性态的研究 斜渐近线 若 §3.3 函数性态的研究 的渐近线 . 解: 所以有铅直渐近线 及 又因 为曲线的斜渐近线 . §3.3 函数性态的研究 步骤 : 1. 确定函数 的定义域 , 期性 ; 2. 求 并求出 及 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 . 为 0 和不存在 的点 ; 并考察其对称性及周 §3.3 函数性态的研究 * 第三节 函数性态的研究 高等数学电子教案 第三章　微分中值定理与导数的应用 定理1 一、 函数单调性的判定法 §3.3 函数性态的研究 证 用LagrangeTh,得 §3.3 函数性态的研究 注意: 只是函数在 上单调增加的充分 条件，不是必要条件。 例如, 即：区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. §3.3 函数性态的研究 例1 解 §3.3 函数性态的研究 例2 解 §3.3 函数性态的研究 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 问题:哪些点可能是单调区间的分界点? 单调区间求法: 导数等于零的点(驻点）和不可导点， §3.3 函数性态的研究 (4)求出单调区间. 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 §3.3 函数性态的研究 例4 证 §3.3 函数性态的研究 为极大点 为极小点 不是极值点 问题：哪些点是可疑的极值点？ 导数为0或不存在的点. 注意: 问题：满足什么条件,可疑的极值点一定是极值点? (是极值点情形) (不是极值点情形) 定理2(第一充分条件) §3.3 函数性态的研究 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求极值可疑点 令 得 令 得 3) 列表判别 是极大点， 其极大值为 是极小点， 其极小值为 §3.3 函数性态的研究 定理3(第二充分条件) 证 §3.3 函数性态的研究 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求驻点 令 得驻点 3) 判别 因 故 为极小值 ; 又 故需用第一判别法判别. §3.3 函数性态的研究 则其最值只能在极值点 或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 最小值 三、 最大值与最小值 §3.3 函数性态的研究 当 在 内只有一个极值点时, 若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 . (小) §3.3 函数性态的研究 例7 解 计算 §3.3 函数性态的研究 比较得 例8 解 实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; §3.3 函数性态的研究 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 任意弧段位于所张弦的上方 任意弧段位于所张弦的下方 四、 函数的凹凸性与函数作图的一般步骤 上凹 上凸 上凹 上凸 定义 §3.3 函数性态的研究 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 定理4 §3.3 函数性态的研究 问题：如何用导数判别函数的凹凸性？ 定理5 的凹凸性. 解: 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 若在某点二阶导数为 0 , 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, §3.3 函数性态的研究 例11 解 注意： §3.3 函数性态的研究 切线在该点处穿过曲线 0 凹 凸 的拐点. 解: 不存在 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 §3.3 函数性态的研究 判别拐点的方法: §3.3 函数性态的研究 问题:哪些点可能是拐点? 或不存在的点 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点 令 得 对应 3) 列表判别 故该曲线在 及 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 凹 凹 凸 §3.3 函数性态的研究 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线 有垂直渐近线 §3.3 函数性态的研究 例如 水平渐近线: 例如 有铅直渐近线: 曲线的渐近线 例14. 求曲线 的渐近线 . 解: 为水平渐近线; 为垂直渐近线. §3.3 函数性态的研究