2011年北大南大中科院数学分析考研试题.doc

北京大学2011年数学分析考研试题 用确界存在定理证明： 设是一个区间，如果是上的连续函数，则是一个区间 设在在连续且可导，在上有界，不存在 求证：存在数列，，，使得. 设是一个区间，在上连续，如果可导. 求证：也可导. 构造两个以为周期的函数，使其Fourier级数在上一致收敛于. 例如：，， 求证：在上可积，其充要条件是在上可积 设在其定义域中的某个点处各方向的方向导数都存在，且存在三个方向上的方向导数值相且不等于0，证明在该点处不可微. 设为上的无界闭集，试构造一个连续函数，使它在一个由光滑曲线所围成 的无界闭区域上的二重积分发散. 设是一个凸区域，，在上有连续二阶偏微分，其Jaccobi矩阵正定，求证：1）.是单射； 2）.对任意，，有 设,级数收敛，试证：存在. 设在上连续且可导，且在上一致有界，并且点收敛于，，. 试证：1）在上连续.2）在上一致收敛于. 8、证明 对， 有， 由于在所有点处正定， 得，，有 ， 故原结论成立. 证明：利用几何-算数平均不等式得 ， 于是 ， 已知 ， 由收敛，知， 故有 . 10、Osgood定理。 中科院研究生院2011年数分考研试题 计算： 1）计算 ; 2）计算 ； 3）证明极限存在并求值； 二．设，求，. 三．设在内有二阶导数，且，，. 求证：对任意成立. 设函数在上有界，在上可微.试问下列命题中哪个必定成 立（说明理由），哪个不成立（反例说明）. 蕴涵； 存在蕴涵. 1）不对，反例，. 2）对，可以给出证明，，，. 过抛物线上的一点做切线，确定，使得该切线与另一抛物线 所围成的图形面积最小并给出最小面积值. 计算曲面积分： ，其中C表示曲面与的交线. 这函数列在区间上一致收敛，并且对每个，存在于相关的常数 ，使得，.求证：函数列在上一致有界，即存 在常数，使得对所有及，有. 设，，为非负数列，满足， 求证：1）； 2）若收敛，证明存在. 证明：不妨设，则有 ，， ， 所以 证明：1）由条件，知， 得 ， ， 从而， ， 再由，得 ， 于是成立 。 或者： 由条件，知， 得 ， ， ， ， 。 2）由1）证明的方法，可知对任意整数成立， ， 从而，， 由于收敛，对任意，存在正整数，当时，对一切 正整数都有 于是， 令 得 ， 再由 的任意性的： . 南京大学2011年数分考研试题 设函数在区间上有定义，存在常数，，使得， ，求证：. 方程在点附近确定了函数， 求 设是上的单调递减非负函数，， .求证：极限存在. 设二元函数定义在紧集上且有连续一阶偏导数，对 ，有. 证明：在内同时满足的点有且只有两个. 设在上二阶连续可导，且满足 ，试计算的值 解： ， ， 试讨论广义积分的敛散性， 其中，， . 解： 与积分的敛散性相同 令 ， ， 此时 ， 用来割取有界闭区域计算积分，然后 令，取极限