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竞赛讲座05
--面积问题和面积方法
基础知识
1.面积公式
由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形,故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式.它形式多样,应在不同场合下选择最佳形式使用.
设△,分别为角的对边,为的高,、分别为△外接圆、内切圆的半径,.则△的面积有如下公式:
(1);
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
2.面积定理
(1)一个图形的面积等于它的各部分面积这和;
(2)两个全等形的面积相等;
(3)等底等高的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底和相等)的面积相等;
(4)等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高(或底)的比;
(5)两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方;
(6)共边比例定理:若△和△的公共边所在直线与直线交于,则;
(7)共角比例定理:在△和△中,若或,则.
3.张角定理:如图,由点出发的三条射线,设,,,则三点共线的充要条件是:
.
例题分析
例1.梯形的对角线相交于,且,,求
例2.在凸五边形中,设,求此五边形的面积.
例3.是△内一点,连结并延长与分别交于,△、△、△的面积分别为40,30,35,求△的面积.
例4.分别是△的边和上的点,且,求△的面积的最大值.
例5.过△内一点引三边的平行线∥,∥,∥,点都在△的边上,表示六边形的面积,表示
的面积.求证:.
例6.在直角△中,是斜边上的高,过△的内心与△的内心的直线分别交边和于和,△和△的面积分别记为和.求证:.
例7.锐角三角形中,角等分线与三角形的外接圆交于一点,点、与此类似,直线与、两角的外角平分线将于一点,点、与此类似.求证:
(1)三角形的面积是六边形的面积的二倍;
(2)三角形的面积至少是三角形的四倍.
例8.在△中,将其周长三等分,且在边上,求证:.
例9.在锐角△的边边上有两点、,满足,作,(是垂足),延长交△的外接圆于点,证明四边形与△的面积相等.
三.面积的等积变换
等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一,它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证(解)题.
例10.凸六边形内接于⊙,且,,求此六边形的面积.
例11.已知的三边,现在上取,在延长线上截取,在上截取,求证:.
例12.在内,且∽,求征:
例13.在的三边上分别取点,使,,连相交得三角形,已知三角形的面积为13,求三角形的面积.
例14.为圆内接四边形的边的中点,于,于,于,求证:平分.
例15.已知边长为的,过其内心任作一直线分别交于点,求证:.
例16.正△正△,,,,,
,.求证:.
例17.在正内任取一点,设点关于三边的对称点分别为,则相交于一点.
例18.已知是正六边形的两条对角线,点分别内分,且使,如果三点共线,试求的值.
例19.设在凸四边形中,直线以为直径的圆相切,求证:当且仅当∥时,直线与以为直径的圆相切.
训练题
1.设的面积为10,分别是边上的点,且若,求的面积.
2.过内一点作三条平行于三边的直线,这三条直线将分成六部份,其中,三部份为三角形,其面积为,求三角形的面积.
3.在的三边上分别取不与端点重合的三点,求证:,中至少有一个的面积不大于的面积的.
4.锐角的顶角的平分线交边于,又交三角形的外接圆于,过作和边的垂线和,垂足是,求证:四边形的面积等于的 面积.
5.在等腰直角三角形的斜边上取一点,使,作交于,求证:.
6.三条直线互相平行,在的两侧,且间的距离为,间的距离为1,若正的三个顶点分别在上,求正的边长.
7.已知及其内任一点,直线分别交对边于(),证明:在这三个值中,至少有一个不大于2,并且至少有一个不小于2.
8.点和分别在的边和上,点和将线段分为三等分,直线和分别与边相交于点和,证明:.
9.已知P是内一点,延长分别交对边于,其中,,且,求之值.
10.过点P作四条射线与直线分别交于和,求证:
.
11.四边形的两对对边的延长线分别交,过作直线与对角线的延长线分别,求证:.
12.为的重心,过作直线交于,求证:.
竞赛讲座06
-圆
基础知识
如果没有圆,平面几何将黯然失色.
圆是一种特殊的几何图形,应当掌握圆的基本性质,垂线定理,直线与圆的位置关系,和圆有关的角,切线长定理,圆幂定理,圆和圆的位置关系,多边形与圆的位置关系.
圆的几何问题不是独立的,它与直线形结合起来,将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题,“三角形的心”,“几何著名的几何定理”,“共圆、共线、共点”,“直线形” 将构成圆的综合问题的基础.
本部分着重研究下面几个问题:
1.角的相等及其和、差、倍、分;
2.线段的相等及其和、差、倍、分;
3.二直线的平行、垂直;
4.线段的比例式或等积式;
5.直线与圆相切;
6.竞赛数学中几何命题的等价性.
命题分析
例
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