2008年复变函数与积分变换试题(A卷)评分标准.docVIP

2008～200学年第一学期 《复变函数与积分变换》课程考试试卷(A卷) 院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________ 考试日期: 200年11月2日 考试时间: 晚上7:00~9:30 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 得 分 评卷人 一(每空分共分)1．复数 ． ．函数在何 ， 何 ． ． ． ．是否收敛？ ；是否绝对收敛？ ．．函数在为 ．．区域在映射下的像为 ． ．在处的旋转角为 ．． ．得 分 评卷人 计算题 (每题分共2分) 1． ， 则 ， 原式， (3分) ．2． 为的本性奇点，将在的邻域内展开得 ， (3分) 原式．3． ，则 ，， 原式， (2分) 函数在只有一个一阶极点， (3分) 原式．4．，则在上半平面只有一个一阶极点， ， (3分) 原式．得 分 评卷人 (14分)已知，求常数a及二元函数，使得为解析函数且满足条件．，，由可得 ， (3分) 即．，， (7分) 由 ， ， ， (11分) ， (3) 由 得 ， (13分) 即． 得 分 评卷人 (14分)将函数分别在和展开为洛朗(Laurent)级数． 在展开时， ； (3分) ② 当时， ．在展开， ① 当时， ； (10分) ② 当时， ．得 分 评卷人 五(6分)求区域在映射下的像． ，则， (3分) (6分) 即像区域为单位圆的外部(如图)。 注：本题也可由，，三步完成。 得 分 评卷人 六(10分)求把区域映射到的形映射．解： (3分) (7分) (9分) (10分) 得 分 评卷人 七(10分)利用Laplace变换求解微分方程： ．解：(1) 令 ，对方程的两边作Laplace变换得： ， (3分) ， (5分) (2) ， (8分) ．得 分 评卷人 八( 6 分)的系数满足： ，， 该级数在内收敛到函数，证明：，．证明：在上解析， (1分) 在上解析， (2分) 当时，由柯西积分公式有： ； (4分) (2) ， ； 即证。 (6分) 第 2 页 / 共 6 页 解答内容不得超过装订线 解答内容不得超过装订线 (z1) 下半平面 1 否 是 处处不解析 点 解答内容不得超过装订线 (z1) 1 (w) (z) (w) (z2) (z) 或