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顺义区2012届高三第二次统练 高三数学（理科）试卷 2012.4 本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后将答题卡交回. 题号 一 二 三 总分 15 16 17 18 19 20 得分 一.选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1. 已知集合,,则集合 A. B. C. D. 2.已知为虚数单位，则复数所对应点的坐标为 A. B. C. D. 3.已知、是简单命题，则“是真命题”是“是假命题”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图给出的是计算 的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是 A. B. C. D. 5.已知直线： 和圆：（为参数，）， 则直线与圆的位置关系为 A. 直线与圆相交 B. 直线与圆相切 C. 直线与圆相离 D.直线与圆相交但不过圆心 A. 直线与圆相切 B. 直线与圆相离 6.甲乙两人从4门课程中各选修2门，则甲乙两人所选的课程中恰有1门相同的选法有 A.12 种 B.16 种 C.24 种 D.48 种 7.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 8．已知椭圆的离心率为，⊙过椭圆的一个顶点和一个焦点，圆心在此椭圆上，则满足条件的点的个数是 A. B. C. D. 二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡上) 9.若展开式中第二项与第四项的系数相等，则________; 展开式中间一项的系数为_________. 10.已知数列的前项和为，对任意的都有，则的值为________，数列的通项公式_____________. 11.如图所示：圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，过作直线的垂线，垂足为，则的长为_________. 12.已知是坐标原点，点，若点为平面区域，上的一个动点，则的最大值为 . 13.已知、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于原点对称，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率___________. 14.已知全集为，定义集合的特征函数为，对于， ，给出下列四个结论： ① 对，有； ② 对，若，则； ③ 对，有； ④ 对，有．，，，设函数. (Ⅰ)求函数的值域； (Ⅱ)已知的三个内角分别为、、， 若，求边长的值. 16. （本小题共13分） 如图：四棱锥中，底面是平行四边形，， 平面，，，是的中点. (Ⅰ) 求证：平面； (Ⅱ)试在线段上确定一点，使∥平面； （Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 17．（本小题共13分） 计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为：、、，在实际操作考试中“合格”的概率依次为：、、，所有考试是否合格相互之间没有影响. （Ⅰ）假设甲、乙、丙3人同时进行理论与实际操作两项考试， 谁获得“合格证书”的可能性大； （Ⅱ）求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得“合格证书”的概率； （Ⅲ）用表示甲、乙、丙3人在理论考试中合格的人数，求的分布列和数学期望. 18．（本小题共14分） 已知函数,(其中). （Ⅰ）求曲线在处的切线方程; （Ⅱ）若是函数的极值点，求实数的值; （Ⅲ）若对任意的，（为自然对数的底数，） 都有，求实数的取值范围. 19．（本小题共14分） 已知动圆过点，且被轴截得的线段长为，记动圆圆心的轨迹为曲线. （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）过点的直线交曲线于，两点,若在轴上存在定点，使平分，求点的坐标. 20. （本小题共13分） 对于定义域为的函数，如果任意的，当时，都有，则称函数是上的严格增函数；函数是定义在上，函数值也在中的严格增函数，并且满足条件. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）是否存在p个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p值，若不存在，请说明理由. 顺义区2012届高三第二次统练 高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准 2012.4 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C