[考研数学]北京航天航空大学线性代数 6-2 二次型的规范形1.ppt

第二节 二次型的规范形 一 复数域 * §1讨论了任意一个二次型经过满秩线性变换可化为标准形, 且标准形不唯一. 即任意一个对称矩阵可用合同变换化为对角形矩阵, 并且对角元不唯一. 而对角形矩阵的秩等于它的对角线上不为零元素的个数r. 再者合同变换是保秩变换, 因此原对称矩阵的秩也是r. 这样, 在一个二次型的标准形中系数不为零的平方项的个数是唯一确定的, 与所进行的满秩线性变换无关. 本节分别在复数域和实数域中进一步讨论标准形的唯一性问题. 设f (x1, x2, …, xn)是复数域上的二次型, 经过满秩变换化为标准形 其中r是二次型 f 的秩, r?n. 作满秩变换 二次型化为 称为复二次型的规范形. 显然复二次型的规范形完全由原二次型的秩决定. 定理2.1 任何复系数二次型经过适当的满秩线性变换可化为规范形, 且规范形是唯一的, 由二次型的秩决定. 用矩阵表示 复数域上的对称矩阵合同于形式为 的对角形矩阵, 1的个数为对称矩阵的秩. 两个同阶复对称矩阵合同?秩相等. 二 实数域 设f (x1, x2, …, xn)是实二次型, 经过线性变换及顺序调整后可化为 其中di0(i=1, 2, …, r), 即上式中有p项为正, r?p项为负. 令 实二次型可化为 称为实二次型的规范形. 定理2.2 任何实二次型经过满秩线性变换总可化为规范形, 且规范形是唯一的. 证明 只需证明规范形唯一, 即p的个数确定. 反证法 若规范形不唯一. 设存在两个实满秩线性变换x=By, x=Cz将实二次型f (x1, x2, …, xn)分别化为两个规范形. 其中p?q, 不妨设pq. 由假设得 (*) 由x=By, x=Cz得 z=C-1By, 令 C-1B=(gij)n?n, 得z1, z2, …, zn与y1, y2, …, yn的关系为 作齐次方程组 此方程组必有非零解, 令 *