高等数学：第一类曲线积分.ppt

curvilinear integral and surface integral 第10章 曲线积分与曲面积分 * 问题的提出 对弧长的曲线积分的概念与性质 对弧长的曲线积分的几何与物理意义 对弧长的曲线积分的计算 小结 思考题 作业 arc length 10.1 第一类(对弧长)的 第10章 曲线积分与曲面积分 curvilinear integral 曲线积分 一、问题的提出 * 实例 匀质之质量 分割 求和 取极限 取近似 曲线形构件的质量 近似值 精确值 元素法 * 二、对弧长的曲线积分的概念与性质 定义10.1 设L为 xOy面内一条光滑曲线弧, 函数 f (x, y)在L上有界. 作乘积 并作和 如果当各小弧段的长度的最大值 在L上任意插入一点列 把L分成n个小段. 设第i个小段的 为第i个小段上任意取定的一 (1) (2) (3) 长度为Δsi , 点, (4) 1.定义 * 曲线形构件的质量 即 这和的极限存在, 则称此极限为函数 f (x, y) 在曲线弧 L 对弧长的曲线积分 或 第一类曲线积分. 积分和式 被积函数 弧元素 积分弧段 记作 * 2. 存在条件 3. 推广 的曲线积分 连续, 的曲线积分为 当 f (x, y)在光滑曲线弧L上 函数 f (x, y, z) 在空间曲线弧Γ上对弧长 对弧长 * 4. 性质 性质1 性质2 (对路径具有可加性) 若L(或Γ)是分段光滑的, * 性质3 设在L上 则 特别地, 有 性质4(中值定理) 连续, 若函数 f (x, y)在光滑曲线 弧L上 则在L上至少存在一点 使得 其中s为曲线L的弧长. * 性质5(与积分路径的方向无关) ⌒ ⌒ 注意 闭曲线L上 对弧长的曲线积分 记作 函数 f (x, y)在 * 设函数f (x, y)在一条光滑(或分段光滑)的曲线 当f (x, y)是L上关于x 的奇函数, 当f (x, y)是L上关于x 的偶函数 L1是曲线L落在y 轴一侧的部分. 在分析问题和算题时常用的 L关于y轴 对称, 补充 对称性质. L上连续, 则 (或y) (或y) (或x轴) (或x) 运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时, 应同时考虑被积函数 f (x, y)的奇偶性与积分曲线 L的对称性. * 例 其中L是圆周 解 因积分曲线L关于 被积函数x是L上 被积函数 因积分曲线L关于 由对称性, 计算 得 是L上 y轴对称, 关于x的奇函数 x轴对称, 关于y的奇函数 * 几何意义 (1) (2) 柱面面积 弧长 平面曲线L上第一类曲线 在几何上表示以L为准线, 母线平行于z轴的柱面 之介于平面z = 0和曲面 z = f (x, y)之间那部分的 柱面面积. 积分: 三、对弧长的曲线积分的几何与物理意义 * 物理意义 (2) 曲线弧 L对x轴及y轴的转动惯量: (3) 曲线弧 L的质心坐标: 曲线弧 L的质量: 表示曲线弧L的线密度时, 四、对弧长曲线积分的计算 * 定理10.1 其中 且 设f (x, y)在曲线弧L上有定义且连续, 具有一阶连续导数, 解法 化为参变量的定积分计算 * 点 设各分点对应参数为 对应参数为 则 证 根据定义 积分中值定理 弧长公式 * 必须满足 (2) 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此 (1) 因为 所以 因此积分限 说明 * 特殊情形 (1) (2) * (3) 特殊情形 推广 * 或 此时需把它化为参数方程 再按上述方法计算. 为参数), 如果积分路径L是两个曲面的交线: (选择x, y, z中某一个 * 例 解 例 解 对x积分? * 在第一象限中所围图形的边界. ⌒ 提示 解 ⌒ ⌒ * 故 ⌒ * 解 考研数学一, 填空, 4分 * 例 解 求圆柱面 被截在球 内部的柱面的面积. 由图形的对称性, 只需求第一挂限部分的面积, 再四倍之. 柱面与xOy平面的交线 平面曲线L 上第一类曲线积分 柱面面积 在几何上表示以L为准线, 母线平行于z轴的柱面之介于 平面z = 0和曲面z = f (x,y)之 之间那部分的柱面面积. (极坐标) 弧微分为 故所求的面积 柱面面积 * 研究生考题, 填空(3分) 采用极坐标 则 法三 在曲线L上, 故 法二 例 解 采用参数方程 则 法一 * 解 对称性 * 例 解 曲线Γ的方程具有如下特点: 有 轮换对称性 x, y, z 地位相等, 可以轮换, 曲线的方程不变. * 对弧长曲线积分的概念 对弧长曲线积分的计算公式 对弧长曲线积分的应用 五、小结 (四步:分割、取近似、求和、取极限） (弧长曲线给出几种不同形式