北大数学考研精讲19.ppt

最小二乘法原理: 例2. 在研究某单分子化学反应速度时, 得到下列数据: 因此 a , b 应满足法方程组: 通过计算确定某些经验公式类型的方法: 作业 P128 1 , 2 * 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 *第十节 问题的提出: 已知一组实验数据 求它们的近似函数关系 y＝f (x) . 需要解决两个问题: 1. 确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景 2. 确定近似函数的标准 实验数据有误差, 不能要求 最小二乘法 偏差 有正有负, 值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小 为使所有偏差的绝对 来确定近似函数 f (x) . 设有一列实验数据 分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方 法称为最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式 . , 它们大体 特别, 当数据点分布近似一条直线时, 问题为确定 a, b 令 满足: 使 得 解此线性方程组 即得 a, b 称为法方程组 (注意其特点) 例1. 为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀 具的厚度, 得实验数据如下: 找出一个能使上述数据大体适合的经验公式. 解: 通过在坐标纸上描点可看出它们 大致在一条直线上, 列表计算: 故可设经验公式为 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 得法方程组 解得 故所求经验公式为 0 0 27.0 0 7 49 24.8 137.6 28 140 208.5 717.0 为衡量上述经验公式的优劣, 计算各点偏差如下: 称为均方误差, 对本题均方误差 它在一定程度上反映了经验函数的好坏. 偏差平方和为 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 27.125 26.518 25.911 25.303 26.821 26.214 25.607 25.000 －0.125 －0.018 0.189 －0.003 －0.021 0.086 0.093 －0.200 57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5 3 6 9 12 15 18 21 24 1 2 3 4 5 6 7 8 其中? 表示从实验开始算起的时间, y 表示时刻 ? 反应 物的量. 试根据上述数据定出经验公式 解: 由化学反应速度的理论知, 经验公式应取 其中k , m 为待定常数. 对其取对数得 (线性函数) (书中取的是常用对数) 经计算得 解得: 所求经验公式为 其均方误差为 观测数据: 用最小二乘法确定a, b 习题课