随机人口模型.ppt

* 随机人口模型 背景 一个人的出生和死亡是随机事件 一个国家或地区 平均生育率平均死亡率 确定性模型 一个家族或村落 出生概率死亡概率 随机性模型 对象 X(t) ~ 时刻 t 的人口, 随机变量. Pn(t) ~概率P(X(t)=n), n=0,1,2,… 研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差 若X(t)=n, 对t到t+?t的出生和死亡概率作以下假设 1)出生一人的概率与?t成正比，记bn?t ;出生二人及二人以上的概率为o(?t). 2)死亡一人的概率与?t成正比，记dn?t ;死亡二人及二人以上的概率为o(?t). 3)出生和死亡是相互独立的随机事件。 bn与n成正比，记bn=?n , ?~出生概率； dn与n成正比，记dn=?n，?~死亡概率。 进一步假设 模型假设 建模 为得到Pn(t) P(X(t)=n),的变化规律，考察Pn(t+?t) =P(X(t +?t)=n). 事件X(t +?t)=n的分解 X(t)=n-1, ?t内出生一人 X(t)=n+1, ?t内死亡一人 X(t)=n, ?t内没有出生和死亡 其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，… …) 概率Pn(t+?t) Pn-1(t), bn-1?t Pn+1(t), dn+1?t Pn(t), 1-bn?t -dn ?t o(?t) ~一组递推微分方程——求解的困难和不必要 (t=0时已知人口为n0) 转而考察X(t)的期望和方差 bn=?n，dn=?n 微分方程 建模 X(t)的期望 求解 基本方程 n-1=k n+1=k *