应用偏微分方程大型作业.doc

应用偏微分大型作业 班级：自动化理工交叉创新实验班1001 学号:u201013772 姓名：夏杨红 一．问题描述 众所周知，许多音乐设备都是通过弦的振动产生声音的，在某种给定频率下，振动通过空气传送到听众的耳朵。例如，中音C就是一种频率约为256赫兹的音调。当几种不同的音调同时听到时形成谐音。声音的大小取决于振动弦的总能量（动能和势能）。 设有长为，两端固定且紧绷着的弦，将其中点向上拉动，使其在离开平衡位置处静止不动，在时刻时松手，使弦作纵向振动。试证明，此弦振动产生的声音中，由基频发出的基音的能量约占总能量的，而第二谐频发出的泛音的能量约占。 二．模型建立 1.位移. 设绳的线密度为ρ，绳的拉力为T。 水平方向上加速度为0 ，则有=,当dx0时cos(x,t)=cos(x+dx,t) ∴T=T’即弦上的拉力在同一时刻为常数T。 为使问题简化，因此只考虑微小横振动的情况，即b1.此时我们则可以认为弦长在振动过程中变化量极小，可以认为T在不同时刻都是相同的 ∴绳上的拉力在整个振动过程中都是保持不变的 在t时刻有： 竖直方向上有:= 即： 即：````````````````````① 易知： ∴≈1，≈1 ∴①式可化为 即： 则有 2.能量 能量包括两部分：动能和势能。其中动能是由弦的运动引起的，势能是由弦的拉力引起的，且规定弦处于水平位置时的势能为0。下面分别来求解： 势能（设为P） 由于弦在水平方向上没有位移，因此在水平方向可认为势能为0. 在x位置处有： 在竖直方向上有： 则： 即： = 即： 即： ……...... ③ 此时P(t)代表整个弦在t时刻的势能，P(0)代表整个弦在最开始处于最大位移静止时即振幅处时的势能 （2）动能（用W表示） 在位置x处时有： （3）总能量（用E表示） E(t)=P(t)+W(t) 由能量守恒知E(t)应该是一个常数，就等于弦在最开始处于最大位置即振幅处静止时的能量，也即E(t)=P(0).这是从物理定理出发得到的一个结论，也是验证前面关于位移和能量模型的建立正确与否的一个最基本得判断。我们先不直接从最基本的式子去验证这个结论，应为这样做起来比较麻烦，在后面我们通过一个直接的例子来说明这个问题。 三.求解 令,则有： 令上述比例式=—λ，则有： 下面解方程：并考虑关于x的初始条件：X(0)=0,X(L)=0 当λ=0时，则有 ，由X(0)=0,X(L)=0，知：a=0,d=0, ∴X(x) ≡0 即u(x,t) ≡0,平庸解，舍去 当λ0时，则有,考虑到关于x的初始条件有B=0，∴ 此时将代入，解得： （n=1,2,3……） ∴ (n=1,2,3…)……. ② 考虑到初始条件 则有： 即只要选择n为奇数就可以得到相应的解 ∴仅考虑这样的初始条件得不到u(t,x)的唯一解，也更不谈基波，高次谐波了，所以下面我们考虑包含的新初始条件。不妨设新的初始条件为 此时由②式得到的一系列的特解不满足初始条件，因此将他们叠加，得到： ，即： 即： ∴ 综上即： 将展开得到：基波：；二次谐波没有（由于选择初始条件的原因）；三次谐波：； ……. 四．计算基波与三次谐波的能量占总能量 （1）计算系统的总能量（E） 由前面的讨论知系统的总能量在振动过程中应该保持不变，等于弦在t=0时刻所具有的势能，即P(0). 由规定知，当弦处于水平位置时P(t)=0,即u(x,t)=0时，P(t)=0 则有=0 ∴ 由③式可知： ……………………………………………. ④ ∴= 直接计算上式比较麻烦，我们在下面的计算过程中不计算此式，通过比较基波和三次波的收敛速度来得到相关的结论。或者我们可以通过matlab数学软件取有限项来近似逼近它，但是由于时间关系我自己没时间学习此软件而且临近交作业了周围同学也没有会使用此软件的所以在此这一步就只能耽搁了，但是通过后面的例子仍然能够说明问题的。 （2）计算基波的总能量() 套用④式得： ∴ ∴ 下面我们对此等式作一下解释，在前面的讨论中我们根据单纯的物理原理则应该得到E(t)=P(0)，这里我们通过严格的数学计算也得到了相同的结论，这也从侧面证明了模型建立的正确性，所以在下面的计算过程中我们可以大胆的运用这一结论 E(t)=P(0) （3）计算三次谐波的总能量（）