国际数学奥林匹克第47届竞赛试题.doc

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第47届） 1． △ABC 的内心为I，三角形内一点P 满足 ∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB．求证， AP≥AI，而且等号当且仅当P=I 时成立． 证：∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)=∠IBC+∠ICB，故∠PBI=∠PCI，从而 P，B，C，I 四点共圆．但由内外角平分线相垂直知 B，C，I 与 BC 边上的旁切圆心T 共圆，且IT 是这个圆的直径，IT 的中点O为圆心．由于A，I，T 共线(∠BAC 的平分线)，且 P在圆周上，AP+PO≥AO=AI+IO ， PO=IO，故AP≥AI． 等号当且仅当P 为线段AO与圆周的交点即P=I 时成立． 2．正 2006 边形 P 的一条对角线称为好的，如果它的两端点将 P 的边界分成的两部分各含P 的奇数条边．P 的边也是好的． 设 P 被不在 P 的内部相交的 2003 条对角线剖分为三角形．试求这种剖分图中有两条边为好的等腰三角形个数的最大值． 解：对于剖分图中的任一三角形ABC，P的边界被A，B，C分为3段，A-B段所含P的边数记作m(AB)．由于m(AB)+ m(BC)+ m(CA)=2006，故等腰三角形若有两条好边，它们必是两腰．称这样的等腰三角形为好三角形． 考虑任一好三角形 ABC(AB=AC)．A-B 段上若有别的好三角形，其两腰所截下的 P 的边数为偶数．由于剖分图中的三角形互不交叉，而 A-B 段上 P 的边数为奇数，故A-B段上必有P的一边α不属于更小的腰段，同理A-C段上也有P的一边β不属于更小的腰段，令△ABC 对应于{α，β}．由上述取法，两个不同的好三角形对应的二元集无公共元，因此好三角形不多于 =1003 个． 设 P=A1A2…A2006，用对角线 A1A2k+1(1≤k≤1002)及 A2k+1A2k+3(1≤k≤1001)所作的剖分图恰有1003 个好三角形．因此，好三角形个数的最大值是1003． 3．求最小实数M，使得对一切实数 a，b，c都成立不等式 解： ． 设，则． 原不等式成为 ． 中两个同号而与另一个反号．不妨设 ．则 ，．于是由算术－几何平均不等式 ＝ 即时原不等式成立． 等号在，，即时达到，故所求的最小的． 4．求所有的整数对（），使得． 解：对于每组解（），显然，且也是解．时给出两组解． 设0，原式化为．与同为偶数且只有一个被4整除．故，且可令，其中为正的奇数，．代入化简得 ． 若，．不满足上式． 故必，此时，解得．但不符合，只有，，． 因此共有4组整数解． 5．设为n 次(n1)整系数多项式，k是一个正整数．考虑多项式 ，其中 P 出现k 次．证明，最多存在 n 个整数t，使得． 证：若Q 的每个整数不动点都是 P 的不动点，结论显然成立． 设有整数使得，．作递推数列 ．它以 k 为周期．差分数列的每一项整除后一项．由周期性及，所有 为同一个正整数．令． 数列的周期为 2．即是 P 的2-周期点． 设 a 是P 的另一个2-周期点，(允许b=a)．则与互相整除，故，同理．展开绝对值号，若二者同取正号，推出，矛盾． 故必有一个取负号而得到．记，我们得到：Q 的每个整数不动点都是方程 的根．由于P 的次数n 大于 1，这个方程为n 次．故得本题结论． 6．对于凸多边形P的每一边b，以b为一边在P内作一个面积最大的三角形．证明，所有这些三角形的面积之和不小于P 的面积的两倍． 证：过P的每个顶点有唯一的直线平分P的面积，将该直线与P的边界的另一交点也看作 P 的顶点(允许若干个相继顶点共线)．每两条面积平分线都交于 P 内．P 可 看成一个 2n 边形，每条对角线是P 的面积平分线(i=1，2，…，n，)．设与交于 ()，由面积关系得到， ，，故和 中必有一个不小于 1，于是以 为一边在 P 内作的面积最大的三角形的面积 ． 对于每条有向线段，P内部的每一点T或在它的左侧或在它的右侧．由于T在和的相反侧，故必有i使得T在和 的相反侧，从而Ｔ在或中．即．于是 P 中同一边上的各个之和就是该边上的面积最大的内接三角形面积．