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高中数学竞赛试题训练 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、为互不相等的正数，，则下列关系中可能成立的是（ ） 、； 、 ； 、； 、； 答案：；解：若，则，不合条件，排除，又由 ，故与同号，排除；且当时，有可能成立， 例如取，故选． 2、设 ，又记则（ ） 、； 、 ； 、； 、； 答案：；解：， ，据此，，，因为型，故选. 3、设为锐角，， 则的大小顺序为（ ） 、； 、 ； 、； 、； 答案：；解：， ，故. 4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）. 、； 、； 、； 、. 答案：；解：选两色有种，一色选择对角有种选法，共计种； 选三色有种，其中一色重复有种选法，该色选择对角有种选法，另两色选位有种，共计种；四色全用有种（因为固定位置），合计种. 5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，则其侧面与底面的夹角为( ). 、； 、； 、； 、 . 答案：；解：设底面正方形边长为，棱锥的高为，侧面三角形的高为，则 ，，则，. 6、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为（ ）． 、 、； 、； 、. 答案：；解：用表示集的元素个数，设，由，得，于是，，；从而 ． 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、若实数满足：，则 . 答案：； 解：据条件，是关于的方程的两个根，即的两个根，所以；． 8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为 ． 答案：；解：设抛物线方程为，则顶点及焦点坐标为，若设点坐标为，则 ， 故．（当或时取等号） 9、计算 . 答案：. 解：． 10、过直线：上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，则椭圆的方程为 . 答案：；解：设直线上的点为，取关于直线的对称点，据椭圆定义， ，当且仅当共线，即，也即时，上述不等式取等号，此时， 点坐标为，据得，，椭圆的方程为. 11、把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是 . 答案：；解：据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，先说明个不够，若为个，因四面体的面皆为三角形，且互不平行，则正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要切割成两个三角形，每个三角形的面积，且这四个三角形要属于四个不同的四面体，以这种三角形为底的四面体，其高，故四个不同的四面体的体积之和，不合； 所以，另一方面，可将单位正方体切割成个四面体； 例如从正方体中间挖出一个四面体，剩下四个角上的四面体，合计个四面体. 12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，则 ． 答案：； 解：简称这种数为“好数”，则一位好数有个；两位好数有个；三位好数有个；…，位好数有个；，记，因，，即第个好数为第个六位好数；而六位好数中，首位为的共有个，前两位为的各有个，因此第个好数的前两位数为，且是前两位数为的第个数；而前三位为的各个，则的前三位为，且是前三位数为的第个数； 而前四位为的各个，则的前四位为，且是前四位数为的第个数；则的前五位为，且是前五位数为的第个数，则． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13、数列满足：；令 ；求 解：改写条件式为，则 ， 所以，； ； ． 15、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数． 解：称为的数码组，则； 一、当数码组只含一个值，为，共得个值； 二、当数码组恰含二个值，． 、数码组为型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个 ，可取个值，则数码组个数为，对于每组， 有种占位方式，于是这种有个． 、数码组为型，，据构成三角形条件，有， 的取值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中的个数 共得个数码组，对于每组，有种占位方式，于是这种有个． 、数码组为型，，据构成三角形条件，有，同上得个数码组，对于每组，两个有种占位方式，于是这种有个． 以上共计个． 三、当数码组恰含三个值，． 、数码组为型，据构成三角形条件，则有，这种有组，每组中有种占位方式，于是这种有个． 、数码组为型，，此条件等价于中取三个不同的数构成三角形的方法数，有组，每组中有种占位方式，于是这种有个． 、数码组为型，，同情况，有个值． 以上共计个值． 　　四、互不相同，则有，这种有组，每组有个排