力学竞赛漫谈.ppt

3.竞赛试题与常规考题之间的区别： （1）考查的问题原型相同，但是综合性或复杂性更强。 对策：熟悉各种原型问题。 （2）在试题的入手上设置障碍，让人难以下手，实际上还是对应于一些基本的物理原型。 对策：识破题目的障眼法，找到原型。 (3) 题目的物理过程较多，有的是同一个物理原型的反复运用，加上各种物理情形的讨论，有的是多个不同物理原型的综合。 对策：养成严谨的思维习惯。对于讨论题不要想当然，问问自己，有几种可能？都要考虑进去。 3．曲线上某点曲率半径的确定方法 （1） 从向心加速度an的定义式an=v2/ρ出发。 将加速度沿着切向和法向进行分解，找到切向速度v和法向加速度an，再利用an=v2/ρ求出该点的曲率半径ρ。 例1 将1kg的小球从A点以10m/s的初速度水平抛出，设重力加速度g＝10m/s2，求：（1）在抛出点的曲率半径； （2）抛出后1s时的曲率半径。 解析:（1）初时在A点向心加速度an＝g＝10m/s2，方向竖直向下，所以小球在曲线上A点的曲率半径ρA=10m. (2) 如图，抛出后1s时到达B点，切向速度v=10 m/s，α＝45°。 向心加速度an=gcos45°=5 m/s2。 小球在B点的曲率半径ρB=20 m. (2) 已知曲线y=f (x)，由 可得某点曲率半径。 证明：对于任意曲线y=f (x)，均可理解为x方向的匀速直线运动及y方向的变速运动的叠加。 如图，速度v沿切向， 例2 筑路工人把从山上挖出来的土石，盛在一个箩筐里，沿一条钢索道滑到山下。如索道形状为x2=4ay的抛物线，且箩筐及它所盛的土石可以看作质量m的质点。求箩筐自x=2a处自由滑至抛物线顶点时箩筐对钢索的压力大小。 解析：如图所示，建立坐标系，钢索呈顶点为坐标原点O、开口向上的抛物线。箩筐自x=2a处自由滑至抛物线顶点时速度大小 ，方向沿-x方向。 抛物线x2=4ay上任意点的曲率半径 在原点O，x=0，所以ρ＝2a。 而此时 ，所以F=2mg。 (3) 构造运动法 构造两个相互垂直的分运动，写出分运动表达式。 如图所示为椭圆 ，求椭圆上A、B两点处的曲率半径。 解析：椭圆 ，我们可以看成是两个函数的合成。 x=acosωt ,y=bsinωt 则vx= -ωasinωt , vy=ωbcosωt ax= -ω2acosωt ,ay=-ω2bsinωt 在A（a，0）处，vy =ωb，ax=ω2a, 同理可求得B处的曲率半径为 . 兰色部分：不贡献引力 红色部分：贡献引力，恰如位于球心的一个 质点M’，M’是红色部分的总质量 话题7 质量均匀球壳（体）内的引力 M’ R r m O R F r 对处于球体内部的质点m而言 证明：一质量分布均匀的球壳对球壳内任一质点的万有引力为零。 A · r1 r2 △s2 △s1 解析：如图，设想在一均匀球壳内的任一点A处置一质量为m的质点，在球面上取一极小的面元△s1，以r1表示△s1与A点的距离。设此均匀球面每单位面积的质量为σ，则面元△s1的质量△m1= σ △s1，它对A点的吸引力为 又设想将△s1边界上各点与A点的连线延长分别与△s1对面的球壳相交而围成面元△s2，设A与△s2的距离为r2，由于△s1 和△s2都很小，可以把它们看作是一个平面图形，显然可以想象到它们是相似图形，因而面元面积比例关系为 . 面元△s2对A处质点的吸引力为 由上述三式得△F1= △F2. 例 假设地球半径为R，质量分布均匀，一隧道沿某条直径穿越地球。现在隧道一个端口从静止释放质量为m的小球，求小球穿越地球所需的时间。小球运动中的阻力不计。 ·O ● r m 设质点m位于r处，它受到的引力 可见，当r＝0时，即小球位于地球球心O处，受到的引力为0。O为小球的平衡位置。 F是小球受到的回复力，r为小球离开平衡位置O 的位移大小，小球做简谐运动。 F∝r 周期 (2003年复赛题）有人提出了一种不用火箭发