高中奥林匹克物理竞赛解题方法极限法.doc

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高中奥林匹克物理竞赛解题方法--极限法 方法简介 极限法是把某个物理量推向极端,即极大和极小或极左和极右,并依此做出科学的推理分析,从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时,具有独特作用,恰当应用极限法能提高解题效率,使问题化难为易,化繁为简,思路灵活,判断准确。因此要求解题者,不仅具有严谨的逻辑推理能力,而且具有丰富的想象能力,从而得到事半功倍的效果。 赛题精讲 例1:如图5—1所示, 一个质量为m的小球位于一质量可忽略的直立 弹簧上方h高度处,该小球从静止开始落向弹簧,设弹簧的劲度 系数为k,则物块可能获得的最大动能为 。 解析:球跟弹簧接触后,先做变加速运动,后做变减速运动,据此推理, 小球所受合力为零的位置速度、动能最大。所以速最大时有 mg=kx ① 图5—1 由机械能守恒有 ② 联立①②式解得 例2:如图5—2所示,倾角为的斜面上方有一点O,在O点放一至 斜面的光滑直轨道,要求一质点从O点沿直轨道到达斜面P点 的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角。 解析:质点沿OP做匀加速直线运动,运动的时间t应该与角有关, 求时间t对于角的函数的极值即可。 由牛顿运动定律可知,质点沿光滑轨道下滑的加速度为 该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t,则 所以 ① 由图可知,在△OPC中有 所以 ② 将②式代入①式得 显然,当时,上式有最小值. 所以当时,质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。 此题也可以用作图法求解。 例3:从底角为的斜面顶端,以初速度水平抛出一小球,不计 空气阻力,若斜面足够长,如图5—3所示,则小球抛出后, 离开斜面的最大距离H为多少? 解析:当物体的速度方向与斜面平行时,物体离斜面最远。 以水平向右为x轴正方向,竖直向下为y轴正方向, 则由:,解得运动时间为 该点的坐标为 由几何关系得: 解得小球离开斜面的最大距离为 。 这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴,求解则更加简便。 例4:如图5—4所示,一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m 的墙外, 从喷口算起, 墙高为4.0m。 若不计空气阻力,取 ,求所需的最小初速及对应的发射仰角。 解析:水流做斜上抛运动,以喷口O为原点建立如图所示的 直角坐标,本题的任务就是水流能通过点A(d、h)的最小初速度和发射仰角。 根据平抛运动的规律,水流的运动方程为 把A点坐标(d、h)代入以上两式,消去t,得: 令 上式可变为 且最小初速= 例5:如图5—5所示,一质量为m的人,从长为l、质量为 M的铁板的一端匀加速跑向另一端,并在另一端骤然停止。 铁板和水平面间摩擦因数为,人和铁板间摩擦因数为 ,且。这样,人能使铁板朝其跑动方向移动 的最大距离L是多少? 解析:人骤然停止奔跑后,其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量,此后,地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f,其加速度。 由于铁板移动的距离越大,L越大。是人与铁板一起开始地运动的速度,因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。 人在铁板上奔跑但铁板没有移动时,人若达到最大加速度,则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦,根据系统的牛顿第二定律得: 所以 ①哈 设、分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度 因为 ② 且 并将、代入②式解得铁板移动的最大距离 例6:设地球的质量为M,人造卫星的质量为m,地球的半径为R0,人造卫星环绕地球做圆周运动的半径为r。试证明:从地面上将卫星发射至运行轨道,发射速度 ,并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值。(取R0=6.4×106m),设大气层对卫星的阻力忽略不计,地面的重力加速度为g) 解析:由能量守恒定律,卫星在地球的引力场中运动时总机械能为一常量。设卫星从地面发射的速度为,卫星发射时具有的机械能为 ① 进入轨道后卫星的机械能为 ② 由E1=E2,并代入解得发射速度为 ③ 又因为在地面上万有引力等于重力,即:④ 把④式代入③式即得: (1)如果r=R0,即当卫星贴近地球表面做匀速圆周运动时,所需发射速度最小 为. (2)如果,所需发射速度最大(称为第二宇宙速度或脱离速度)为 例7:如图5—6所示,半径为R的匀质半球体,其重心在球心 O点正下方C点处,

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