2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题1.doc

2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题 一、填空题（每题10分，共80分） 1.已知关于x的两个方程：-x+3m=0……①，+x+m=0……②，其中m≠0.若方程①有一个根是方程②的一个根的3倍，则实数m的值是_________。 2.已知梯形ABCD中AB‖CD，∠ABC=90°，BD⊥AD，BC=5，BD=13，则梯形ABCD的面积为______。 3.从编号为1、2、3、4、5、6的六张卡片中任意抽取三张，则抽出的卡片编号都大于2的概率为________. 4.将8个数，-7，-5，-3，-2，2，4，6，13排列为a,b,c,d,e,f,g,h,使得+的值最小，则这个最小值为________. 5.已知正方形ABCD边长为4，E、F分别在AB，BC上，AE=3，BF=2，AF，DE交于G，则四边形DGFC的面积为。 6.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，P是△ABC内一点，使得PA=11，PB=7，PC=6，则AC边长为____________。 7.有10名象棋选手进行单循环赛，规定每场比赛胜方得2分，负方得0分，平局各得1分，比赛结束后发现每位选手得分各不同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的，则第二名选手得分是_______。 8.已知a，b，c，d都是素数（可以相同），并且abcd是35个连续正整数之和，则a+b+c+d的最小值为_________. 二、解答题（第9、10题每题15分，第11、12题每题20分，共70分） 9.如图，矩形ABCD的对角线交于O，已知∠DAC=60°，∠DAC的平分线与DC交于S，直线OS，AD相交于L,直线BL与AC交于M。求证：SM‖LC. 10.求所有正整数组a≥b≥c≥d≥e≥f，使得a！=b！+c！+d！+e！+f！。 11.①求证：存在整数x，y，满足+4xy+=2022 ②是否存在整数x，y，满足+4xy+=2011？请证明你的结论。 12.整数n＞1，它的所有不同的素因子为P1，P2，……Pk，对于每个1≤i≤k，存在正整数，使得≤n≤。记P（n）=p1+p2+……+，例如P（100）=+=89. ①找出一个正整数n，使得P（n）＞n； ②证明：存在无穷多个正整数n，使得P（n）＞ n