数学竞赛专题 函数2.ppt

例14 设 f (x)的定义域为R，其图像关于直线 x＝2 和 x＝0对称，且x?[4，6]时， f ( x )＝2 x + 1，那么在区间[－2，0]上，f －1( x )的解析式为 （A）y＝log2(x－4) （B）y＝4－log2(x－1) （C）y＝4+log2(x－1) （D）y＝－log2(x－1) 【分析】如何用好x＝2，x＝0是图像对称轴这个条件，并把两者综合而得新的性质？ 这就要想到： y＝f (x)图像关于x＝a对称 ? x?R时有f (x)＝f (2a－x) 【解】∵y＝f (x)的图像关于x＝0 对称， ∴ f ( x )＝f (－x)， ∵ y＝f (x)的图像关于x＝2对称， ∴ f (－x)＝f (4+x)． 于是有f ( x )＝f (4+x) ∴ f ( x )是周期为4的函数， 当－2≤x≤0时， 0≤－x≤2且－x + 4∈[4，6] ∵ y＝f (x)的图像关于x＝0对称， ∴ f (x)＝f (－x)．∵ 周期为4， ∴ f (－x)＝f (－x+4)＝2－x+4 +1 即在 [－2，0]上，y＝f (x)＝2－x+4 +1 ∴ 2－x+4＝y－1 －x+4＝log2(y－1) x＝4－log2(y－1) ∴ [－2，0] 上，f (x)＝4－log2(x－1) 应选（B）． 练习.1.数列{an}中，a1＝a，a2＝b，且an＋2＝an＋1－an(n∈N＋)①求a100；②求S100. 2.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1) ,f(0)＝2004，求f(2004)  3.函数f(x) 是定义域为R且以2为周期的周期函数，当x∈[0,2]时，f(x)=|x-1|； 当x∈[2k,2k+2]( k∈Z)时，求f(x)的解析式，并证明f(x)是偶函数。 1.数列{an}中，a1＝a，a2＝b，且an＋2＝an＋1－an(n∈N＋)①求a100；②求S100. 解：由已知a1＝a，a2＝b，所以a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，a7＝a，a8＝b，……由此可知，{an}是以6为周期的周期数列，于是a100＝a6×16＋4＝a4＝－a又注意到a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0 S100＝a1＋a2＋a3＋……＋a96＋a97＋a98＋a99＋a100 ＝0＋a97＋a98＋a99＋a100 ＝a1＋a2＋a3＋a4 ＝a＋b＋(b－a)＋(－a) ＝2b－a 2.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求f(2004)解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)即：f(x＋3)＝－f(x)∴ f(x＋6)＝f(x) 例15 已知 ，函数g(x)的图像与函数y＝f －1(x+1)的图像关于直线 y＝x 对称，则 g ( 5 )＝ ． 【分析】很明显，g(x)是f －1(x+1)的反函数．只要求出f －1(x+1)的反函数解析式，就得到g ( x )，不难得到g ( 5 )． f －1(x+1)的反函数不是f (x+1)，为什么？看了下面的解法，应当能回答出来． 【解法1】y＝f －1(x+1) ? f (y)＝f [f －1(x+1)]＝x+1 ?x＝f (y)－1 ∴ y＝f －1(x+1)的反函数是y＝f (x)－1 即 g (x)＝f (x)－1 ∴ 【解法2】y＝f (x)和f －1(x)的图像关于x＝y对称，当f －1(x)沿x轴负方向平移1个单位时，“镜子” y＝x另一侧的“像” f (x)沿y轴负方向平移1个单位，于是 f －1(x+1)和f (x)－1互为反函数． 即g (x)＝f (x)－1，下略． 练习．1．已知函数 ，函数y=g(x) 的图像与y=f -1(x+1)的图像关于直线y=x对称，则 g(11)的值为： A． B．1 C． D． 2．已知定义在R上的函数f(x)的反函数为f -1(x