高二数学比武课件教案.doc

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§3.3.1函数的单调性与导数 教学目标: 教学难点:教学过程: 1.问题:图3.3-1(1),它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像,图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 通过观察图像,我们可以发现: 运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加而增加,即是增函数.相应地,. 从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少,即是减函数.相应地,. 2.函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系. 如图3.3-3,导数表示函数在点处的切线的斜率. 在处,,切线是“左下右上”式的,这时,函数在附近单调递增; 在处,,切线是“左上右下”式的,这时,函数在附近单调递减. 结论:函数的单调性与导数的关系 在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减. 说明:(1)特别的,如果,那么函数在这个区间内是常函数. 3.求解函数单调区间的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数; (3)解不等式,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式,解集在定义域内的部分为减区间. 三.典例分析 例1.已知导函数的下列信息: 当时,; 当,或时,; 当,或时, 试画出函数图像的大致形状. 解:当时,,可知在此区间内单调递增; 当,或时,;可知在此区间内单调递减; 当,或时,,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”. 综上,函数图像的大致形状如图3.3-4所示. 例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1); (2) (3); (4) 解:(1)因为,所以, 因此,在R上单调递增,如图3.3-5(1)所示. (2)因为,所以, 当,即时,函数单调递增; 当,即时,函数单调递减; 函数的图像如图3.3-5(2)所示. (3)因为,所以, 因此,函数在单调递减,如图3.3-5(3)所示. (4)因为,所以 . 当,即 时,函数 ; 当,即 时,函数 ; 函数的图像如图3.3-5(4)所示. 注:(3)、(4)生练 例3.如图3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像. 分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上,(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况. 解: 思考:例3表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢.结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗? 一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时,函数的图像就比较“陡峭”;反之,函数的图像就“平缓”一些. 如图3.3-7所示,函数在或内的图像“陡峭”, 在或内的图像“平缓”. 例4.求证:函数在区间内是减函数. 证明:因为 当即时,,所以函数在区间内是减函数. 说明:证明可导函数在内的单调性步骤: (1)求导函数; (2)判断在内的符号; (3)做出结论:为增函数,为减函数. 例5.已知函数 在区间上是增函数,求实数的取值范围. 解:,因为在区间上是增函数,所以对恒成立,即对恒成立,解之得: 所以实数的取值范围为. 说明:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解. 例6.已知函数y=x+,试讨论出此函数的单调区间. 解:y′=(x+)′ =1-1·x-2= 令>0. 解得x>1或x<-1. ∴y=x+的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). 令<0,解得-1<x<0或0<x<1. ∴y=x+的单调减区间是(-1,0)和(0,1) 四.课堂练习 1.求下列函数的单调区间 1.f(x)=2x3-6x2+7 2.f(x)=+2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx 2.课本 练习 五.回顾总结 (1)函数的单调性与导数的关系 (2)求解函数单调区间 (3)证明可导函数在内的单调性 六.布置作业 临澧县第一中学 数学组 袁小兵 - 3 -

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