数学竞赛专题 函数3.ppt

因为f(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1 所以(1)等价于u4,即x2+ax+54 此不等式有无穷多解 (1)当0a1时，原不等式为 (1) 由于当u0时，　　　　　　　 均为单调增函数，所以它们的乘积 　　　　　　　　　　　　　　 也是单增函数 由f(4)=1知，(2)等价于0≤u≤4， 即0≤x2+ax+5≤4 从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解 即Δ=a2-4=0，a=2时， 不等式0≤x2+ax+5≤4有唯一解x= -1 综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解 (2)当a1时，不等式化为 (2) 例19.已知a0且a≠1，试求使方程 有解的k的取值范围 解：原方程即 即 又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾， 故k的取值范围为(-∞,-1)U(0,1) 分别解关于　的不等式、方程得： (k≠0时） 所以　　　　　 解得k -1或0k1 解：易知f(x)的定义域为(0,+∞) ∵y1=3+　　　　在(0,+∞)上是减函数， y2=log2x在(0,+∞)上是增函数， 而当y1=y2，即 例20.设f(x)=min(3+ ， ),其中min(p,q)表 示p、q中的较小者，求f(x)的最大值 七.函数的最值与函数的值域 f(x)=log2x　 (2) (1)×2+(2)消去log2x， 得3f(x)=6，f(x)=2 又f(4)=2,故f(x)的最大值为2 另解：f(x)=3+ =3- (1) 3+　　　=log2x时，x=4， 故当x=4时，得f(x)的最大值是2 例21.求函数 的最小值 解：由1-3x0得，x0,所以函数的定义域为(-∞,0) 令3x=t,则t∈(0,1)，于是 故当x= -1时，得y的最小值-2+2log23 例22 已知函数f (x) 和g(x)都是奇函数，且 F(x) =a · f (x)+b · g(x)+2 ，若在 (0, +∞)上F(x)有最大值8, 则在(－∞, 0)上F(x) 有 (A) 最小值－8 (B) 最小值－4 (C) 最小值－6 (D) 最大值－8 【解】设x＜0，则－x＞0， 依题意F(－x)＝af (－x)+bg(－x)+2≤8 ∵ f (x) 和g(x)是奇函数 ∴－af (x)－bg (x)+2≤8 ∴ a · f (x)+bg (x)≥－6 ∴ F (x)＝af (x)+bg (x)+2≥－4． 故F (x)在（－∞，0）上有最小值－4． 应选（B）． 例23 求函数 的值域． 【讲解】 和 这两项的平方和是常数，而平方之积是二次三项式． 据这个特点可以演变出下面多种解法． 【解法1】易知定义域为 0≤x≤1， 0≤x≤1 －x2+x 的值域是 [0， ] 的值域是 [0， ] ∴ 的值域是[1， ]． * * 函数（三） 例1 已知函数 (a ＞0 且a ≠1) 在其定义域 [－1, 1] 上是减函数，则实数 a 的取值范围是___________. 六、幂函数、指数函数与对数函数 【讲解】由a＞0且a≠1知t＝3－ax是减函数，从而lg(3－ax) 也是减函数，故只有a＞1时，f (x)才是减函数； 另外， x? [－1 ，1] 时， 要保证 3－ax＞0，为此只须考虑最小值： x＝1时, tmin=3－a，要3－a＞0， 则a＜3，综上知1＜a＜3． 例2 如果不等式 x2－ ＜0 在区间 上恒成立，那么实数a的取值范围是___________． 【讲解】 设y＝x2 ① y＝ ② 当a＞1时，函数②在 上取负值， 因此 不可能有x2＜ 成立． 在 上函数①的最大值是 ， 在 上，当0＜a＜1时，②的最小 值是 ， 在 上，x2＜