高考第一轮复习——多面体与球(理).doc

年 级 高三 学 科 数学（理） 版 本 人教版（理） 内容标题 高三第一轮复习：多面体与球 编稿老师 刘震 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 多面体与球 二. 本周教学重、难点： 1. 了解多面体，凸多面体，正多面体的概念。 2. 了解球的概念，掌握球的性质，表面积，体积公式。 【典型例题】 [例1] 如图，地球半径为R，地面上三点A、B、C的经纬度分别是：A点是东经，北纬；B点是东经，北纬；C点是东经，北纬，试求A、B与B、C两点的球面距离。 解：∵ A、B纬度均为 ∴ A、B在同一纬线上 设此纬线圈中心为O1 由已知有，且 ∴ 在中，= 在中， ∴ ∴ A、B两点的球面距离等于 ∵ B、C两点在同一经线上，纬度差为，即 ∴ BC两点的球面距离等于 [例2] 已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为。 （1）求它的外接球的体积； （2）求它的内切球的表面积。 解：如图 （1）设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS ∴ O为的外心，即的外接圆半径就是球的半径 ∵ AB=BC= ∴ ∵ SA=SC=AC= ∴ 为正三角形 由正弦定理得 因此 （2）设内切球的半径为r 作SE⊥底面于E，作SF⊥BC于F，连结EF 则有 又 ∴ ∴ ∴ [例3] 半径为1的球面上有A、B、C三点，其中A和B的球面距离，A和C的球面距离都是，B和C的球面距离是，求球心O到平面ABC的距离。 解：∵ 球O的半径为1 ∴ A和B的球面距离 ∴ 又 OA=OB=1 ∴ 同理，，，，BC=1 由，得OA⊥平面OBC 设所求距离为，则由，知 由此解得 [例4] 棱长是的正方体AC1内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切。求证：两个球半径之和为常数。 解：如图所示，根据正方体、球均为中心对称图形可知，两球球心O1、O2均在正方体的体对角线AC1上，并且一球与上底面对角线相切，另一球与下底面对角线相切，以此作出其对角面图 设O1、O2半径分别为、，过O1、O2分别作， 则为 ∵ ∴ 即 ∴ （常数） [例5] 如图，球心O到截面BCD所在圆心O1的距离为球的半径的一半，BC是截面圆的直径，D为圆周上一点，CA是球O的直径。 （1）求证：平面ABD⊥平面BDC； （2）如果球的半径为R，D分为两部分，求AC与BD所成角。 解：（1）设球心为O，小圆BCD的圆心为O1 由题知 ∵ AC是球的直径 ∴ AB⊥BC 又 ∵ AB//OO1 ∴ AB⊥面BCD 而AB面ABD ∴ 面ABD⊥面BDC （2）由D分为两部分，知 延长DO1交圆O1于H，则CH//BD，故为AC与BD所成的角，易证CH⊥平面ABH，故CH⊥AH ∴ AC与BD所成的角为 [例6] 在一个轴截面是正三角形（顶角开口向上）的圆锥形容器中注入高为h的水，然后将一个铁球放入这个圆锥形容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径。 解：如图，作出圆锥容器的轴截面，为等边三角形 ∵ SG=，DG ∴ 设铁球的半径为R，则SO=2R，SF=3R 在中， 依题意有，即 ∴ 答：所求铁球半径等于 [例7] 如图所示，四棱锥A—BCDE中，AD⊥底面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE。 （1）求证：ABCDE五点都在以AB为直径的同一球面上； （2）若，，AD=1，求B、D两点间的球面距离。 解：（1）∵ AD⊥底面BCDE ∴ AD⊥BC，AD⊥BE 又 ∵ AC⊥BC，AE⊥BE ∴ BC⊥CD，BE⊥ED ∴ B、C、D、E四点共圆，即BD为圆的直径 取AB的中点M，BD的中点N，连结MN，则MN//AD ∴ MN⊥底面BCDE，即M的射影是圆的圆心N ∴ AM=BM=CM=DM=EM 五点共球体，且直径为AB （2）若，则底面四边形BCDE是一个矩形，连结DM ∵ ∴ ∴ BM=1， ∴ B、D两点间的球面距离是 【模拟试题】（答题时间：45分钟） 一. 选择题： 1. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 如图，A、B、C是表面积为的球面上三点，AB=2，BC=4，，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（ ） A. B. C. D. 3. 把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD与BC的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60°