高考第一轮复习——二项式定理(理).doc

年 级 高三 学 科 数学（理） 版 本 人教版（理） 内容标题 高三第一轮复习：二项式定理 编稿老师 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 二项式定理 二. 教学重、难点： 掌握二项式定理和展开式的性质，并能用它们计算，证明一些问题 【典型例题】 [例1] （1）求的展开式中的常数项。 （2）求展开式中的有理项。 解：（1） ， 令 ∴ （2） 令即， ∴ 或9 当时，， 当时，， [例2] 求展开式中的系数 解：因为的通项为， 的通项为，，令，则 ，，， 所以的系数为 [例3] 求展开式中含项的系数 解： 而其中的通项为，的通项为 所以的通项为，其中，且 由已知，，所以，从而 当时，，这时； 当时，，这时； 当时，，这时； 所以展开式中含项的系数为 [例4] 求的展开式中项。 解：方法一：原式 的通项， ∴ 当时 ∴ ∴ 或 ∴ 含项： 方法二：2个，1个 4个 ∴ [例5] （1）求展开式中系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项。 解：（1）设项系数最大，则有 即 解得 又∵ ∴ ∴ 系数最大项为 （2）展开式中共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，又因括号内两项中后项系数绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大项必在中间或偏右，故只需要比较和两项系数大小即可。 ∴ 系数最大的项是第五项， [例6] 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项。 解： ∴ ，即 ∴ 解得 ∴ 展开式中二项式系数最大的项是中间一项 [例7] 若，求 （1）； （2）； （3）。 解：（1）令，则 令，则 ① ∴ （2）令，则 ② 由，得 （2）由，得 [例8] 求证：能被64整除 证明：∵ 又是整数 ∴ 能被64整除 [例9] 求证：有。 证：∵ ∴ 左 右 [例10] 求 解：原式 [例11] 若，，展开按m的降幂排列第二项不大于第三项，求m的取值范围。 解： ∴ 又∵ ∴ 【模拟试题】（答题时间：30分钟） 一. 选择题 1. 在的展开式中，含项的系数是（ ） A. B. 5 C. D. 10 2. 在的展开式中的系数是（ ） A. B. 14 C. D. 28 3. 若展开式中含的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 4. 若展开式中存在常数项，则n等于（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 5. 的展开式中有且仅有5个有理项，则最小自然数n等于（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 6. 若，则等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 设二项式的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S。若有P+S=272，则n等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 展开式中整理后的常数项是（ ） A. 32 B. C. 70 D. 38 二. 解答题 1. 设函数（为实常数），若的展开式中的系数为，求的值。 2. 已知展开式中常数项为1120，为常数，求展开式中各项系数的和。 【试题答案】 1. C 解析：项的系数为，选C。 2. B 解析：由 ∴ 的系数为14 3. A 解析：含项的系数为，含x项的系数为，由题意得 或（舍） 4. C 解析：本题考查二项式定理，展开式中的第项为 由题意可知 ∵ ∴ 为3的倍数 ∴ n为5的倍数 5. B 解析：∵ ，设为有理项，则，且， ∴ 要求n的最小值，只要求出r的最大值即可 又∵ 只有5个有理项 ∴ ∴ ，从而 故选B 6. D 解析：令，得，令，得 ∴ 7. A 解析：若，有，，令，得，又 或（舍去） ∴ ，故选A 8. D 解析：展开式的通项 由，得，故展开式中常数项为 同理，可求的展开式中的常数项为70 ∴ 所求常数项为 二. 1. 解析： 由 ∴ ∵ ∴ 2. 解析： ∴ 当时，为常数项 ∴ ∴ ∴ ∴ 展开式中各项系数之和为： ① 时，令 ∴ ② 时，令 ∴ 第1页