高考第一轮复习——两角和与差的三角函数、二倍角的正弦、余弦和正切(理).doc

年 级 高三 学 科 数学（理） 版 本 人教版（理） 内容标题 高三第一轮复习：两角和与差的三角函数、二倍角的正弦、余弦和正切 编稿老师 刘震 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 两角和与差的三角函数，二倍角的正弦，余弦和正切 二. 重点、难点： 1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；能正确运用上述公式，进行简单三角函数的化简、求值和恒等式的证明。 2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能正确运用上述公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。 【典型例题】 [例1]（1）已知，，其中，，求的值；（2）已知都是锐角，且，，求。 解：（1）∵ ∴ ∴ ∴ （2）∵ ∴ 又 ∵ ∴ 又 ∵ 在之间，余弦值为的角只有，∴ [例2] 已知锐角中，。 （1）求证：； （2）设，求AB边上的高。 解：（1）证明：∵ ∴ ∴ （2）∵ ∴ 即 将代入上式并整理得 解得，舍去负值，得 ∴ 设AB边上的高为CD 则 由AB=3，得 ∴ AB边上的高等于 [例3] 已知，求的值。 解：∵ ∴ 又 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 原式 [例4] 已知三点A（）、B（）、C（）。若向量 （为常数且），求的最大值、最小值及相应的值。 解：由已知 移项得 两式平方，整理有 ∴ ∵ ∴ 当时，有最大值 又 ∵ ，故有最小值为，此时 解得或 综上所述，当时，有最大值，当或时，有最小值。 [例5] 已知，。 （1）求及； （2）若的最小值是，求的值。 解：（1） （∵ ） （2） ∵ ∴ ① 当时，，矛盾 ② 当时，，由，得 ③ 当，时，，由，得，矛盾。 综上，为所求 [例6] 设，，，与的夹角为，与的夹角为2，，求的值。 解：根据题意， 而 ∴ 同理， ，而， ∴ 将代入，得 ∴ [例7] 如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中。 （1）将十字形的面积表示为函数； （2）为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）设S为十字形的面积， 则 （2）方法一： 其中 当，即时，S最大 所以当时，S最大，S的最大值为 方法二：因为 所以 令，即 可解得 所以当时，S最大，S的最大值为 【模拟试题】（答题时间：45分钟） 一. 选择题： 1. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 的值是（ ） A. B. C. D. 1 3. 要使有意义，则应有（ ） A. B. C. 或 D. 4. 等于（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知，当时，可化简为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 二. 解析题： 1. 已知，。 （1）求的值； （2）求满足的锐角 2. 如图所示，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另两点B、C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为，如何选择关于点O对称的点A、D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？ 3. 已知为锐角，且，，试求的值。 【试题答案】 一. 1. D 解析：设，两式相加得 由，得，两式相减，得，由，得 ∴ 2. B 解析：原式 3. D 解析： 由 4. B 解析： 5. B 解析： ∴ ∵ 在第一或第三象限，则在第一或第二象限 又 ∵ ∴ 在第二象限，故 6. B 解析：由，得 又 ∴ ∴ ∴ ，A=B，同理B=C ∴ 是等边三角形 7. D 解： ? ∵ ∴ ∴ ， ∴ 原式 8. B 解析： 二. 1. 解析：（1）因为，所以 所以 由 所以 （2）因为 所以 所以 因为为锐角，所以 2. 解析：如图所示，令，则，则矩形ABCD的面积为 其中“”中等号成立的充要条件是，即 于是时，S为最大 不难得到，这时A、D两点与O的距离都是 3. 解析：由题意知 ∵ ∴