高考第一轮复习导数的综合,应用极限,复数(理).doc

年 级 高三 学 科 数学（理） 版 本 人教版（理） 内容标题 导数的综合应用；极限；复数 编稿老师 刘震 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 导数的综合应用；极限；复数 二. 本周教学重难点： 1. 理解可能函数的单调性与其导数关系，会求函数的极值，最值 2. 掌握数列，函数极限的运算法则，会求数列函数极限，了解连续的意义 3. 了解复数的有关概念，能进行加、减、乘、除运算 【典型例题】 [例1] 已知a为实数，若在和上都递增，求的取值范围。 解： 令，即 ∴ ① 设 ∴ ∴ 当时， 当时， ∴ ② 设 ∴ ∴ 当时， 当时， ∴ 由①②知： [例2] （且）在上是减函数，求的取值范围。 解： 令，或 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ [例3] 已知，函数 （1）当为何值时，取得最小值？证明你的结论。 （2）设在上是单调函数，求的取值范围。 解析：（1）对函数求导数，得 令，得 从而 解得，，其中 当变化时，、的变化如下表： x + 0 － 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 当在处取到极大值，在处取到极小值。 当时，，，在上为减函数，在上为增函数。 而当时，； 当时，，所以当时，取得最小值。 （2）当时，在上为单调函数的充要条件是， 即，解得 综上，在上为单调函数的充分必要条件为，即的取值范围是。 [例4] 已知，，若，且存在单调递减区间，求的范围。 解：时， 令，即有解即可 ∴ ∵ ∴ （*） 设， ∴ ∵ ∴ ∵ （*）有解即可 ∴ 当时， ∵ ∴ 不可能小于0 ∴ 又∵ ∴ 且 [例5] 把边长为60cm的正方形铁皮的四角切成边长为xcm的相等的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数，问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？ 解：设长方体高为xcm，则底面边长为 长方体容积 ∵ ∴ ，即函数定义域为 令，解得，（不合题意舍去），于是 x （0，10） 10 （10，30） + 0 － ↗ ↘ ① 当即时，在时，取得最大值为 ② 当即时，在时，取得最大值 [例6] 已知，求。 解：∵ ∴ 为方程的根， 又 ∴ ∴ ， [例7] 是否存在常数使等式 对一切正整数成立？证明你的结论。 解：分别将代入 ∴ 下面用数学归纳法证明 （1）当时，成立 （2）假设时等式成立 当时， 左 由（1）（2）知等式对一切成立 [例8] m取何实数时，复数是实数？是虚数？是纯虚数？ 解：① 为实数 ∴ ② 为虚数 ∴ 且 ③ 为纯虚数 ∴ 或 【模拟试题】（答题时间：30分钟） 一. 选择题 1. 已知，函数在上是单调增函数，则的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知曲线过点，则这一曲线在该点的切线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知（m为常数）在上有最大值6，那么此函数在上的最小值为（ ） A. –34 B.-29 C.-5 D.-11 4. 函数，其中为实数，当时，（ ） A. 是增函数 B. 是减函数 C. 是常数函数 D. 既不是增函数也不是减函数 5. 已知函数，则（ ） A. 极大值为5，极小值为 B. 极大值为5，极小值为 C. 极大值为5，无极小值 D. 极小值为，无极大值 6. 函数的极值点是（ ） A. B. C. 或 D. 7. 观察函数：① ；② ；③ ；④ 。 当时极限值为1的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④ 8. 等于（ ） A. B. C. D. 二. 解析题 1. 已知函数。 （1）若在实数集R上单调递增，求实数的取值范围。 （2）是否存在实数，使在上单调递减？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。 （3）证明的图象不可能总在直线的上方。 2. 已知，求的单调区间。 3. 某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每年生产x件这样的产品需要再增加可变成本（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？ 【试题答案】 一. 1. D 解析：，因为在上单调递增，所以，即，故。 2. B 解析：∵ 曲线过点 ∴ 又 ∴ ∵ ∴ 切线方程为 ∴ 选B 3. A 解析： 由得或2 ∵ ，， 显然