高考第一轮复习——反函数、方程根的分布(理).doc

年 级 高三 学 科 数学（理） 版 本 人教版（理） 内容标题 反函数、方程根的分布 编稿老师 刘震 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 反函数、方程根的分布 二. 本周教学重、难点： 1. 了解反函数的概念及互为反函数图象的关系，会求一些简单的反函数。 2. 掌握解决有关方程根的分布的基本方法。 【典型例题】 [例1] 记函数的反函数为，则等于（ ） A. 2 B. C. 3 D. 解：设， 则，即 [例2] 设的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数，，求。 解：∵ 的图象关于点（1，2）对称 ∴ ∴ ∴ 两边用作用 ∴ [例3] 已知是R上的增函数，点A（）、B（1，3）在它的图象上，是它的反函数，求不等式的解集。 解：由题意知在R上是增函数，且 又由，得， 即 ∴ [例4] 已知函数，是的反函数，记 。 （1）求函数的反函数； （2）求的最小值。 解：（1）∵ 又 ∵ ∴ ∴ 故 由，得， 解得 故 （2） 当且仅当即时， 取得最小值 [例5] 方程两根在（2，3）内，求的取值范围。 解：设 ∴ ∴ ∴ [例6] 方程的两个根为，且，，求的取值范围。 解： ∴ ∴ [例7] 关于的方程至少有一个负的实根的充要条件是 。 解：方法一 （1）时，成立 （2）时， 设 ① 2个负根 ∴ ∴ ② 1正根1负根 ∴ ∴ ③ 1负根1零根，不可能 ∴ ∴ 由（1）（2）知： 方法二： （1）时，成立 （2）时，设 ① 方程有2个正根的条件 ∴ ∴ ② 1正根1零根，不可能 ∴ ③方程无实根的条件 ∴ ∴ 方程至少有一个负根的充要条件是 [例8] 若二次函数在内至少存在一点，使，求的取值范围。 解：设在内不存在这样的点 ∴ ∴ ∴ ∴ 或 ∴ 要使在内至少存在一点使，则 [例9] 已知抛物线上有一点M（）位于轴下方。 （1）求证：抛物线与轴必有2个交点，A（）B（）（设）且 （2）若M，求整数。 证：（1）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 抛物线与轴必有2个交点 又 ∵ ∴ ∴ （2） ∴ 或 ∴ 或 【模拟试题】（答题时间：50分钟） 一. 选择题： 1. 的反函数是（ ） A. B. C. D. 2. 设函数的图象关于点（1，）对称，且存在反函数，若，则等于（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 函数的反函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数存在反函数且，则函数的图象必经过点（ ） A.（2，0） B.（0，2） C.（3，） D.（） 5. 设函数则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 设是函数的反函数，则使成立的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知和是定义在上的函数，对任意的，存在常数，使得，，且，则在A上的最大值是（ ） A. B. C. 5 D. 8. 如果函数的反函数是它本身，那么点（）的轨迹是（ ） A. 定点（1，0） B. 定点（） C. 直线 D. 直线和定点（1，0） 二. 解答题： 1. 已知函数（，且） （1）求函数的反函数； （2）判定的奇偶性； （3）解不等式 2. 若方程的两根，一个比2大，一个比2小，求的取值范围。 3. 关于的实系数二次方程的两个实根为，证明：若且，那么。 【试题答案】 一. 1. B 解析：，，即（） 2. A 解析：由题意分析知点（3，0）关于点（1，）的对称点（）也在上，结合反函数的意义分析知，故选A。 3. A 解析：由 ∴ ，即 ∴ ∴ 交换得 4. D 解析：由题意，则 令，则有，故点必在的图象上 5. D 解析：由题意知时， 设，则 即 解之，得或（舍） 6. A 解析：方法一：求得 由，得 ∴ ，解得 方法二：∵ ∴ 为增函数 根据函数与反函数的定义域、值域之间的关系，，即在中，在的条件下求的范围。 ∴ 7. C 解析：由题设知和在上的同一点处取得最小值，且 ∵ ，即 从而 又 ∴ 8. D 解析：由互为反函数的图象关于对称，知的图象与重合成垂直 故或 二. 1. 解： （1）化简，得，设，则 ∴ ∴ 所求反函数为 （2）∵ ∴ 是奇函数 （3）