高考第一轮复习——函数的周期性(文).doc

年 级 高三 学 科 数学（文） 版 本 人教版（文） 内容标题 函数的周期性 编稿老师 孙力 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 函数的周期性 （一）概念 对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，则把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，这个最小的正数叫最小正周期。 注： （1）周期函数的周期T未必是正数未必有正周期 如：，显然是函数的一个周期，故，是周期函数，假设有一个正周期，当时，，故无意义，所以不存在正周期。 （2）若T是周期函数的周期，未必是函数的一个周期，但若是定义在R上的周期函，是函数的一个周期，而不是周期。 （3）有正周期的周期函数，未必有最小正周期 如任一有理数是的一个周期，因有理数不存在最小正数，故所给函数不存在最小正周期。 （4）周期函数的周期不止一个 事实上，如果T是周期函数的周期，用数学归纳法易证（）也是的周期，换言之，一个周期函数必有其周期集合，且此集合是一个至少一方无界的无穷点集。 （5）周期函数的定义域至少是一方无界 因函数的周期集合是定义域的子集，由（4）知周期集合至少一方无界，故定义域至少一方无界。 （6）周期函数的定义域内的点不一定是连续的，可能是有间断的，如函数是周期函数，定义域是整数集。 （7）两个周期函数的和未必是周期函数 如，假设是以T为周期的周期函数 则，对任恒成立 令代入上式，有 ∵ ∴ 于是矛盾，故非周期函数 （二）性质 1. 设是以T为周期的函数，证明 （1）对任意正整数，也是的周期 （2）有最小正周期T，则的所有周期都是T的整数倍 注：若是定义在R上的周期函数，则（1）中 证： （1） （2）设是的任意一个周期，且，则存在，使（）若，则 ，即也是正周期，而与T的最小性矛盾，故 2.（1）若是数集A上的周期函数，则是数集上的周期函数 （2）若有最小正周期T，则T也是函数的最小正周期 证： （1）设T为周期，则任，，且有从而，即T是的周期。 （2）由（1）知T也是的正周期，假设T不是的最小正周期，则存在是的周期，即 即也是的周期，且为正数，这与T是的最小正周期矛盾，所以T也是的最小正周期 3. 函数以T为最小正周期函数以为最小正周期 证（充分性）设是的最小正周期，令，则 ∴ ∴ 假设T不是的最小正周期，若存在是的周期， 则 即是函数的周期与已知是最小正周期矛盾，得证（必要性）仿充分性证明，略。 4.（1）设是定义在数集A上的函数，是数集B上的周期函数，且，则复合函数为B上的周期函数。 证明：设T是（）的周期，则对任意，且，有 ， 即为B上周期函数 推论：若是周期函数，则，，（） 仍为周期函数 （2）若T是的最小正周期，则复合函数的最小正周期 如复合函数为周期函数，且最小正周期，而最小正周期， （3）若是数集A上具一一映射的函数，是数集B上具有最小正周期T的函数，则T也是复合函数的最小正周期。 证：由（1）T也是复合函数的周期，假设T不是的最小正周期，则存在为的周期，即对任，有 而在A上具有一一映射，则，即是函数的周期，这与T是的最小正周期矛盾得证。 （4）设与是数集A上分别以T1和T2为正周期的函数，且（），则它们的和、差、积是A上以（或）为周期的周期函数 证： 但是，如果与分别是与的最小正周期，那么与的最小公倍数不一定是，的最小正周期，如与的最小正周期都是，显然，最小公倍数是，并不是的最小正周期 又如的最小正周期是，显然不是的最小正周期 （5）对于定义在R上的函数，若总有（），则是以为一个周期的周期函数，反之，若为函数的一个周期，则必有 推论：对于定义在R上的函数，且，若有总成立，则是以为一个周期的周期函数 证：（）对，令，那么，则有（数代换，令代代入即得证） 【模拟试题】（答题时间：50分钟） 1. 已知为非零常数 （1）设，求证是周期函数 （2）设，求证是周期函数 2. 已知是定义在R上的函数，且，求的值。 3. 已知函数定义域为R，且对于的任意一个值都有，求证是周期函数。 4. 对任意整数，且，，求的值。 5. 函数在R上有意义，满足（1）为偶函数，且，（2）为奇函数，试求的值。 6. 已知定义在R上的奇函数满足，且，则方程在区间（0，10）内实根的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 9 D. 7 7. 定义在R上的偶函数恒有成立，且当时，则当时，（ ） A. B. C. D. 8. 设，是定义在实数集R上的函数，对一切实数，有 ，求证：是周期函数。 9. 设对于函数，，有等式，其中，均为正常数，求证：存在正常数，使 ，且是