平面向量的数量积(理).doc

年 级 高三 学 科 数学（理） 版 本 人教版（理） 内容标题 高三第一轮复习：平面向量的概念与运算、平面向量的数量积 编稿老师 刘震 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 平面向量的概念与运算、平面向量的数量积 二. 重点、难点： 1.（1）了解共线向量的概念、平面向量的基本定理；会将平面向量用两个非共线向量表示。 （2）理解向量的概念，理解两个向量共线的充要条件。 （3）掌握向量的几何表示，向量的加法与减法、实数与向量的积。 2. 掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的运算及运算律和坐标运算；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。 【典型例题】 [例1] 在中，，，BN与CM交于点E，，，用表示。 解：由已知得， 设，则 而 ∴ ∴ 同理，设，则 ∴ ∴ 由与不是共线向量，得，解得 ∴ ，即 [例2] 如图，已知ABCD边AB的中点为E，F为AD上的一点，且，BF、CE交于K，用向量方法求的值。 解：设，则 ∵ ∴ 设，则 又B、K、F三点共线 ∴ 存在实数，使 即 ∴ ∴ 由（1）：，代入（2） ∴ [例3] O为坐标原点，已知A（3，1）B（）若C满足，，其中，，且，则点C的轨迹方程为？ 解：由已知得A、B、C三点共线 ∴ 即 [例4] O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，，则P的轨迹一定通过的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解：如图1，令， 图1 方法一：，则动点P满足， 所以点P的轨迹是由点A出发的射线 因为 所以四边形为菱形，所以平分 因此，点P的轨迹一定通过的内心 方法二：当时，因为 所以 得 又因为两向量夹角的余弦函数在闭区间上递减 所以 因为A、B、C不共线，所以AP平分，得点P的轨迹一定通过的内心 方法三：考虑特殊情形，取为等腰直角三角形，即，如图2 这时，的外心为AC的中点D，垂心为点B 而由题设知点P的轨迹是由点A出发，方向为的射线，不经过点D，也不经过点B，故排除A、D两个选项。其次，由于。知射线不平分BC，即不通过的重心，排除选项C，从而得选项B为答案。 图2 [例5] 在直角坐标系中，已知点A（0，1）和点B（）。若点C在的平分线上且，则 。 解： 设的平分线交AB于D点 由内角平分线定理，知 ∴ ∴ [例6] 设有两个向量，今有动点P从开始沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为；另一动点Q从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为。 设P、Q在秒时分别在、处，则当时，为多少秒？ 解：由题意， 故P、Q两点的坐标分别为和 ∴ ， ∵ ，故，即 解得 [例7] 已知是同一平面内的三个向量，其中。 （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角。 解：（1）设 ∵ ∴ ∴ 又 ∵ ，且 ∴ ，由 得或 （2）∵ ∴ 即 ∴ ∴ ∴ 夹角为 [例8] 已知向量和，且 ，求的值。 解析： 方法一： 由已知，得 又 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 方法二： 由已知，得 ∵ ∴ ∴ ∴ 【模拟试题】（答题时间：40分钟） 一. 选择题： 1. 设为不共线向量，，，，则下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，向量，如果，那么等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 已知的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若，则点P与的关系为（ ） A. P在的内部 B. P在的外部 C. P在AB边或其延长线上 D. P在AC边上且是AC的一个三等分点 4. 已知点A（），B（0，0），C（），设的平分线AE与BC相交于E，那么有，其中等于（ ） A. 2 B. C. D. 5. 与向量平行的单位向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 若，则在方向上的投影为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量与向量互相垂直且=，若，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 二. 解答题：