数据结构第6章_树1.ppt

第6章 树 6.1 树的概念 6.2 二叉树 6.3 二叉树的存储结构 6.4 二叉树的遍历 6.5 树和森林 6.6 线索二叉树 6.7 二叉树的应用 习题 6.1 树的概念 树的直观表示法 使用圆圈表示结点，连线表示结点之间的关系，结点的名字可写在圆圈内或圆圈旁。 树的基本术语 结点：指树中的一个元素，包含数据项及若干指向其子树的分支。 结点的度：指结点拥有的子树个数。 树的度：指树中结点的度的最大值。 叶子：指度为零的结点，又称为终端结点。 孩子：一个结点的子树的根称为该结点的孩子。 双亲：一个结点的直接上层结点称为该结点的双亲。 兄弟：同一双亲的孩子互称为兄弟。 结点的层次：从根结点开始，根结点为第一层，根的孩子为第二层，根的孩子的孩子为第三层，依次类推。 树的深度：树中结点的最大层次数。 堂兄弟：双亲在同一层上的结点互称为堂兄弟。 路径：若存在一个结点序列k1,k2,…,kj, 可使k1到达kj, 则称这个结点序列是k1到达kj的一条路径。 子孙和祖先：若存在k1到kj的一条路径k1,k2,…,kj，则k1,…,kj-1为kj的祖先，而k2,…,kj为k1的子孙。 森林：m(m≥0)棵互不相交的树的集合构成森林。 有序树和无序树：若将树中每个结点的各个子树都看成是从左到右有次序的（即不能互换），则称该树为有序树，否则为无序树。 树的存储结构 顺序存储 顺序存储时，首先必须对树形结构的结点进行某种方式的线性化，使之成为一个线性序列，然后存储。 链式存储 链式存储时，使用多指针域的结点形式，每一个指针域指向一棵子树的根结点。 由于树的分支数不固定，很难给出一种固定的存储结构，通常采用二叉树的形式存储树。 6.2 二叉树 满二叉树和完全二叉树 一棵深度为k且有2k-1个结点的二叉树称为满二叉树。满二叉树的特点是每一层的结点数都达到该层可具有的最大结点数。 如果一个深度为k的二叉树，它的结点按照从根结点开始，自上而下，从左至右进行连续编号后，得到的顺序与满二叉树相应结点编号顺序一致，则称这个二叉树为完全二叉树。完全二叉树的1~k-1层上共有2k-1-1个结点，第k层的结点集中在左边。 满二叉树一定是完全二叉树，而完全二叉树不一定是满二叉树。 二叉树的性质-1 性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i≥1)。 证明：可用数学归纳法予以证明。当i=1时，有2i-1=20=1，同时第一层上只有一个根结点，故命题成立。设当i=k时成立，即第k层上至多有2k-1个结点。当i=k+1时，由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，所以第k+1层上至多有2?2k-1=2k个结点，故命题成立。 二叉树的性质-2 性质2：深度为k的二叉树至多有2k-1个结点(k≥1)。 证明：性质1给出了二叉树每一层中含有的最大结点数，深度为k的二叉树的结点总数至多为故命题成立。 二叉树的性质-3 性质3：对任何一棵二叉树，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。 证明：设度为1的结点数为n1，则一棵二叉树的结点总数为： n=n0+n1+n2 因为除根结点外，其余结点都有一个进入的分支(边)，设B为分支总数，则n=B+1。又考虑到分支是由度为1和2的结点发出的，故有 B=2n2+n1，即 n=2n2+n1+1 比较两式可得n0=n2+1，证毕。 二叉树的性质-4 性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为?log2n?+1或?log2(n+1)?。 (其中?x?表示不大于x的最大整数，?x?表示不小于x的最小整数。) 证明：设完全二叉树的深度为k，则有 2k-1 - 1 n ? 2k – 1 (1) (1)式变形为 2k-1 n+1 ? 2k，两边取对数 k-1log2（n＋1） ?k 取整得 k＝?log2(n+1)? 2k-1 ? n 2k （第k层至少有一个结点） （2） 两边取对数 k-1 ? log2n k 因为k为整数，所以k = ?log2n? +1 二叉树的性质-5 性质5：如果将一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序(自 顶向下，同一层自左向右）连续编号1, 2, …, n，然 后按此结点编号将树中各结点顺序地存放于一个一维 数组中, 并简称编号为i的结点为结点i (1 ? i ? n)。则有以下关系： 若i == 1, 则 i 是二叉树的根，无双亲 若i 1, 则 i 的双亲为?