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导数与微分
一、基础题
１．如果为偶函数,且存在,证明．
证 因为 ，且
，
所以．
２．求曲线上点处的切线方程和法线方程．
解 因为切线，切线斜率=， 法线斜率 =，所以切线为：即．
法线为：即．
３．讨论下列函数在处的连续性与可导性：
(1) ； (2)．
解 用连续性的定义判断连续；用左、右导数是否存在并相等判断函数在该点的可导性：
故在处连续，又
，
，
所以在处不可导．
(2)由无穷小与有界量之积仍为无穷小，知
故在处连续，又
所以在处亦可导．
４．已知，求．
解 (须讨论几种情形并分别求导，特别要注意在求这类分段函数衔接点处的导数时，不便套公式，还得采用定义去求导)．
易知时，．当时，，当时，因为
又
由，知，综上所述，得
５．证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于．
证 设双曲线上任一点，因为的导数为
切线方程：
分别令与，得它在两坐标轴上的截距依次为
与 ,
于是所构成三角形的面积
.
６．以初速度竖直上抛的物体，其上升高度与时间的关系是，求：
(1) 该物体的速度；
(2) 该物体达到最高点的时刻．
解 (求速度，即为求导数，求达到最高点的时刻，只须令，再解出)
(1) ．
(2) 令得，即达到最高点时间为(秒)．
７．设函数和可导，且，试求函数的导数．
解 ．
８．设可导，求下列函数的导数：
(1)； (2) ．
解 (1) ．
(2)
９．若存在，求下列函数的二阶导数：
(1) (2) ．
解 (1) ．
(2) ．
10．求由下列方程所确定的隐函数的导数
（1）； （2）．
解 （1）在方程两端分别对求导，得
从而．
(2) 在方程两端分别对求导，得
从而．
11．求下列参数方程所确定的函数的导数：
(1) ； (2)．
解 (1) ．
(2) ．
12．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数：
(1) (2)
解 (1)，．
(2)．
13．求下列函数的微分:
(1) ； (2) ．
解 (1) ．
(2) ．
14．计算下列反三角函数值的近似值:：
(1) ； (2) ．
解 (1) 由及取得
(2) 由及取得
二、提高题
１．试从导出：
(1) ； (2) ．
证明 (1) ；
(2) =.
２．求下列函数所指定的阶的导数：
(1) 求 ； (2) 求；(3) 求 ．
解 (1)
(2)
(3)
．
３．求函数的阶导数的一般表达式．
解 ．
４．求曲线在点处的切线方程．
解 只须分别求出它们在该点处的斜率,即可由点斜式写出直线方程．
因为 ，所以，切线斜率为：
故切线方程: ，
即
法线方程： ，即．
５．求下列方程所确定的隐函数的二阶导数：
(1) ：．
解 对于隐函数求有两种途径，一为先求，再求；二是对方程求导两次，解出．
(1) 方法一 ．
．
方法二 由．得：
．
(2) ．
６．用对数求导法求下列函数的导数：
(1)
解 (1)
(2)
７．求下列参数方程所确定的函数的三阶导数：
(1) (2)
解 (1) ；
．
．而 (2)
．
８．溶液自水深顶直径的正圆锥形漏斗中漏入一直径为的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为时，其表面下降的速率为，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？
解 设在时刻漏斗国水深为，筒中水深为，相应地漏斗中水面半径满足关系式：
所以
设盛满溶液时漏斗的体积为，依题意，有
所以
其中为常数，两边求导，得
代入，得
答：漏斗中溶液深为时，圆柱筒中溶液表面上升的速率为．
９．设，求复合函数的导数，并讨论的连续性．
解 ．
当时，,故；
当时，,故．
当时,
故在处可导,且．
综上所述有
显然，因此，在处连续，进而易知在上连续．
三、考研题
１．(01，3分) 设，则在点可导的充要条件为
(A) 存在. (B) 存在.
(C) 存在. (D) 存在.
解法一： 当时，关于( A )：
由此可知
若在点可导成立，反之若(A)成
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