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6.4超松弛迭代法.ppt
第六章 线性方程组迭代解法 § 6.4超松弛迭代法(SOR) 一、SOR法迭代公式 例6.6 用SOR法求解线性方程组 二、SOR法的收敛性 SOR法收敛与收敛速度有关定理 SOR法分类与现状 一、SOR法迭代公式 例6.6 用SOR法求解线性方程组 二、SOR法的收敛性 SOR法收敛与收敛速度有关定理 SOR法分类与现状 例6.7 讨论例6.6用SOR法的ω取值。 本章学习要点 本章学习要点 * * § 6.4 超松弛迭代法(SOR) SOR(Successive Over-Relaxation)法,即超松弛迭代法,是目前解大型线性方程组的一种最常用的方法,是Gauss-Seidel迭代法的一种加速方法。 设线性方程组 AX=b 其中 A非奇异,且aii ? 0(i=1,2,??????,n ) 。 如果已经得到第k次迭代量x (k) 及第k+1次迭代量x (k+1) 的前i-1个 分量 (x1 (k+1),x2 (k+1) ,??????,xi-1 (k+1) ), 在计算xi (k+1) 时,先用Gauss-Seidel迭代法得到 (1) 选择参数ω,取 (2) 返回引用 把 式(1)代入式(2)即得SOR法 其中, ? 参数ω叫做松弛因子; ? 若 ω=1,它就是Gauss-Seidel迭代法。 返回引用 解 方程组的精确解为 x=(3,4,-5) T,为了进行比较,利用同一初值 x(0)=(1,1,1)T,分别取ω=1 (即Gauss-Seidel迭代法)和 ω=1.25两组算式同时求解方程组。 ①取ω=1 ,即Gauss-Seidel迭代: ②取ω=1.25 ,即SOR迭代法: 返回引用 迭代结果见表6.3。 表6.3 Gauss-Seidel迭代法与SOR迭代法比较 ? Gauss-Seidel迭代法 SOR迭代法(ω=1.25) k x1 x2 x3 x1 x2 x3 0 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1 5.2500000 3.1825000 -5.0468750 6.3125000 3.9195313 -6.6501465 2 3.1406250 3.8828125 -5.0292969 2.6223145 3.9585266 -4.6004238 3 3.0878906 3.9267587 -5.0183105 3.1333027 4.0402646 -5.0966863 4 3.0549316 3.9542236 -5.0114410 2.9570512 4.0074838 -4.9734897 5 3.0343323 3.9713898 -5.0071526 3.0037211 4.0029250 -5.0057135 6 3.0214577 3.9821186 -5.0044703 2.9963276 4.0009262 -4.9982822 7 3.0134110 3.9888241 -5.0027940 3.0000498 4.0002586 -5.0003486 迭代法若要精确到七位小数, Gauss-Seidel迭代法需要34次迭代; 而用SOR迭代法(ω=1.25),只需要14次迭代。 可见,若选好参数ω,SOR迭代法收敛速度会很快。 返回节 为了利用第3节的收敛定理,要先给出SOR法的矩阵表达式。由式(2) 以及Gauss-Seidel迭代法的矩阵表达形式,可以看出 X(k+1) =(1-ω)X(k)+ωD-1(b+LX(k+1)+UX(k)) DX(k+1) =(1-ω)DX(k)+ω(b+LX(k+1)+UX(k)) (D-ωL)X(k+1) =[(1-ω)D+ωU] X(k)+ωb 解得 X(k+1) =(D-ωL)-1 [(1-ω)D+ωU] X(k)+ω(D-ωL)-1b (3) 记 Bω=(D-ωL)-1 [(1-ω)D+ωU] 称为SOR法迭代矩阵。 由定理6.1 及定理6.2直接得知: SOR法收敛的充要条件是ρ(Bω)1。 SOR法收敛的充分条件是 || Bω||1。 前面我们看到,SOR法收敛与否或收敛速度都与松弛因子ω有关,关于ω的范围,有如下定理。 定理6.5 设A∈Rn?n,满足a ii≠0 (i=1,2,??????,n),则有 ρ(Bω)≥ |1-ω| 。 推论 解线性方程组,SOR法收
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