4.3高斯型求积公式.ppt

华长生制作 §4.3 高斯型求积公式 高斯求积公式 高斯求积公式 权函数 定义:设[a,b]是有限或无限区间, ?(x)是定义在[a,b]上的非零可积函数，若其满足 则称?(x)是[a,b]上的一个权函数。 高斯点与正交多项式的零点 高斯-勒让德求积公式 一般积分区间[a,b]的处理 * * 第四章 微积分的数值计算方法 问题: 是否有比等距节点的Newton-Cotes型求积公式 更高代数精度的求积公式? 最高能达到多大? 度 在高等数学中介绍付立叶级数时，曾提到函数系 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…, cosnx, sinnx,… 中，由于任意两个函数乘积在区间[-?，+?]上的积分 都等于零，则说这个函数系在[-?，+?]上是正交的， 并称这个函数系为正交函数系。 定义1(a)：设函数f(x),g(x)?[a,b],且 则称f(x)与g(x)在[a,b]上正交. 正交多项式 定义1(b)：设函数f(x),g(x)?[a,b],且 则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权?(x)正交. 正交多项式 权函数 定义2 常见的正交多项式及高斯求积公式 勒让德多项式(Legendre) 切比雪夫多项式(Chebyshev) 拉盖尔多项式(Laguerre) 埃尔米特多项式 (Hermite ) 2. Legendre多项式的性质: 0.5555555556 0.8888888889 0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834 ±0.9602898565 ±0.7966664774 ±0.5255324099 ±0.1834346425 8 0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837 ±0.9491079123 ±0.7415311856 ±0.4058451514 0 7 0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889 ±0.9061798459 ±0.5384693101 0 5 0.3478548451 0.6521451549 ±0.8611363116 ±0.3399810436 4 ±0.7745966692 0 3 1 ±0.5773502692 2 6 点数 0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346 ±0.9324695142 ±0.6612093865 ±0.2386191861 2 0 1 Ak xk Ak xk 点数 * * * *