00ch3 微分方程3.ppt

微分方程建模 数信学院计算机系 王志巍 微分方程的几个简单实例 人口模型 观众厅地面设计 1 问题的提出 猪的最佳销售问题 问题分析： ? 猪的最佳销售时机问题：对于猪的商业性饲养和销售，人们总是希望获得最大的利润，在市场需求不变的情况下，如果我们不考虑猪的饲养技术、水平，猪的类型等因素的影响，那么影响销售利润的主要因素，就是销售时机问题，由于随着猪的生长，单位时间消耗的饲养费用逐渐增多，而猪的体重增长却逐渐变慢，因此对猪的饲养时间过长是不合算的。 假定一头猪在开始饲养时的重量为x0，在饲养后任意时刻t的重量为x t ，对于某一品种的猪，它的最大重量假定为X0，猪的最小出售体重为xs，相应的饲养时间为ts。一头猪从开始饲养到时刻t所需的费用为y t ，同时我们假定反映猪体重变化速度的参数为α，猪在达到最大体重后，单位时间的饲养费为γ，反映饲养费用变化大小的参数为λ，请根据上面的假设，建立起猪的最佳销售时机的数学模型，并用下面所给的数据验证你的模型。 假设X0 200（kg），xs 75（kg），α 0.5（kg/天），猪的市场销售价设为c 6元/kg，γ 1.5（元/天），λ 1（元/天），x0 5kg。 问题分析： 由于猪在进行饲养时已具有一定的体重，而其体重的增加随饲养时间的延长逐渐减慢，因此由Logistic模型可得 ：  又由于猪的体重增加，单位时间消耗的饲养费用就越多，达到最大体重后，饲养费用为常数γ，所以有   因此，得到微分方程： 对上式求解可得 养猪能否获利，主要看猪从出生到ts时，如果出售是否可以获利，因此，获利的充要条件为：  （2） 其中c0为仔猪的价格。由（1）式可得：  解之可得： 将（1），（2）式代入可得： 3 所以只要（3）式成立，饲养就会获利。设猪的最佳出售时机为t*，由（1）式求导可得： 4  由盈亏平衡原理：即单位时间内由猪增加体重所获得的利润与消耗的饲养费用相等，可得: 由（4）式可得：   解之可得：  若 时，  故猪应在 时出售。  若 时，  故猪应在 时出售（因为猪必须长到xs）。 最优捕鱼策略 1 问题的提出? 这是1996年全国大学生数学建模竞赛的A题，问题如下： 为保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（