第12章-4-一维势场中的粒子.ppt

例5: 在核(线度1.0×10-14m)内的质子和中子可以当成 是处于无限深的势阱中而不能逸出，它们在核中的运 动是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一 激发态到基态转变时，放出的能量是多少MeV？ 粒子的能量为： n= 1,2,3… 由上式，质子的基态能量为(n=1): 第一激发态的能量为： 从第一激发态转变到基态所放出的能量为： 讨论：实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般就是几MeV,上述估算和此事实大致相符。 n=1 n=2 n=3 * * * §12.7 一维势场中的粒子 § 12.7.1 一维无限深方势阱中的粒子 § 12.7.2 势垒贯穿 § 12.7.3 简谐振子 一、无限深一维方势阱 粒子处于束缚态： 在阱内势能为零，粒子不受力的作用； 在边界处，势能突然增加到无限大，粒子受到无限大斥力。粒子被限制在0xa范围内,不可能到此范围外。 0 a x 粒子在力场中的势能函数为： § 12.7.1 一维无限深方势阱中的粒子 (Particle in infinite square-well otential) 这种势能分布即为无限深方势阱。 二、求解定态薛定谔方程 由于势函数不随时间变化，所以属定态解。 (0xa) 上式变为： 令： 此方程通解为: 其中A、B、k 均为常数，A、B由边界条件确定。 边界条件要求： 阱内：U = 0，方程为 连续条件 阱外：物理上，势能为无穷就是粒子不能到达， 因此有: 有界条件 所以有： （若B=0，则势阱内无粒子） 由归一化有： 归一化条件 则： n 叫量子数 单值条件 由此得： 总波函数： 由 和 解得： 定态本征解： 定态能量本征值： 讨论 （1）能量是量子化的: 在经典力学中，粒子的动能可连续取值；而量子力学的结果是，能量是量子化的。且由薛定谔方程自然而然地得到，不需人为假定。 （2）零点能:最低的能级是 n=1 能级 对经典物理来说这是不可理解的，而按量子理论是可以理解的。 若E=0， 则 但势阱中 ，所以E不能为零。 根据不确定关系， （4）根据波函数的物理意义， 为粒子在各处出现的概率密度。 由图，在势阱内概率密度随x改变，且与n有关。但是按经典理论,粒子在各点出现的概率应该是相同的。 0 a n=1 n=2 n=3 E1 E2 E3 x 当 时，量子化--连续 (5)每一个能量本征态对应于德布罗意 波的一个特定波长的驻波 ， 可见a越大 越小,当a大到宏观尺度时， ,能量可看作连续变化，这和经典理论相对应。 （3）相邻两个能级之差 (6) 把坐标原点移至势阱中点，则把上面结果中的 x 改 为 x -a/2， 就得到新坐标系下的波函数（可能有正负号 的差别，但作为波函数是等价的）： n = 1,3,5,… 时的波函数是偶函数, 这些状态叫做偶宇 称态，n = 2,4,6,… 时的波函数是奇函数，这些态叫做 奇宇称态。 (7)若是已知波函数,可代入 薛定格方程去求解能量。 E O a/2 x -a/2 E1 n=1 4E1 n=2 9E1 n=3 E O a x E1 n=1 4E1 n=2 9E1 n=3 En ψn |ψn|2 E O a/2 x -a/2 无限深方势阱内粒子的 能级、波函数和概率密度 E1 n=1 4E1 n=2 9E1 n=3 例1：一粒子在一维无限深方势阱中运动而处于 基态。从阱宽的一端到离此端点1/4阱宽的距离 内它出现的概率多大？ 解： 基态波函数为: n=1, 粒子从阱宽的一端到离此端点1/4阱宽的距离内它出现的概率为 半无限深方势阱的势能函数为 定态薛定谔方程, 必需满足标准化条件下，求解薛定谔方程,“自然地” 得到如下图所示量子化的能级、波函数和概率密度。 E O a/2 x U0 U -a/2 §12.7.2 势垒穿透 (Barrier penetration) 量子力学： E E1 E3 E2 -a/2 a/2 x U0 En ψn |ψn|2 0 能量小于U0的粒子，只能在