弹性力学预备知识-浙江大学.ppt

一、微分方程的定义及分类 二、微分方程的求解 一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 一、定义 三、n阶常系数齐次线性方程解法 型的特解 §1－4 变分原理 1、以2L为周期的傅里叶级数 例 解线性方程组 解： 方程组的系数行列式 所以方程组有唯一解。 又： 所以： 　　注：在方程组中，若所有的常数项b1 b2 … bn 0，则方程组称为n元齐次线性方程组。 3 显然有零解 x1 x2 … xn 0 　　结论1：若齐次线性方程组 3 的系数行列式D ? 0，则方程组只有零解。一般解 结论2：若齐次线性方程组 3 有非零解，则系数行列式 D 0。特解 由m×n个数aij i 1, 2, …, m ; j 1, 2, …, n 有次序地排成m行 横排 n列 竖排 的数表 　　称为一个m行n列的矩阵，简记 aij m×n，通常用大写字母A，B，C，…表示，m行n列的矩阵A也记为Am×n，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而aij表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。 1、矩阵的定义 三、矩阵知识 注意： 有时也可以通过行矩阵的转置表示列矩阵 2 两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称A、B是同型的。 ---行矩阵 ---列矩阵 1 只有一行或一列的矩阵 称为行矩阵或列矩阵,有时也称为 向量, 如: 2、矩阵的运算 1 定义: 设矩阵 A aij m×n , B bij m×n 则矩阵 称为矩阵A与B的和，记作 C A+B 1） 矩阵的加法 C cij m×n aij + bij m×n 2 性质: 设 A，B，C，O 都是 m×n 矩阵, 则有 1 A + B B + A 2 A + B + C A + B + C 3 A + O O + A A 2） 矩阵的减法 1 负矩阵 设 A aij m×n , 则称 －aij m×n 为A的负矩阵，简记－A 显然 A+ －A O , － －A A 2 减法： 设 A aij m×n , B bij m×n , A－B 为 A－B A + －B aij－ bij m×n 定义: 设?是常数， A aij m×n ，则矩阵 ? aij m×n 称为数?与矩阵A的乘积，计为? A, 即 3）数与矩阵的乘法 设 A、B 为 m × n 矩阵，?、u为常数 1 ? u A ? u A u ? A ; 2 ? A + B ? A + ? B 3 ? + u A ? A + u A 4 1·A A ， －1 ·A －A 2 性质 （1）定义： 设 A aij m×s , B bij s×n , 则 A与B的乘积 C 其中Cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和 i 1, 2, …, m ; j 1, 2, …, n C＝AB是m×n矩阵，C cij m×n 4） 矩阵的乘法 例 设 试证： 1 AB 0 ； 2 AC AD 证： 1 2 故有 AC ＝ AD 1 A B C A B C 2 A B + C A B + A C 3 B + C A B A + C A 4 ? A B ? A B A ? B 其中 ? 为常数 2 性质 5） 线性方程组的矩阵表示 设方程组为 可表示为 简记为 AX＝B。 A称为由线性方程组的系数矩阵。 1 定义: 将矩阵 A m×n 的行换成同序数的列，列换成同序数的行所得的 n×m 矩阵称为A的转置矩阵，记作 AT 或 A。 例如： 则 6） 矩阵的转置 1 AT T A 2 A + B T A T + B T 3 ? A T ＝ ? A T 4 A B T BT A T 2 性质 3、方阵 1）定义 其中：k, l均为正整数 k个 行数与列数相同的 n × n 矩阵 A 称为方阵，n 称为它的阶数，简记 An 。 则： 记 A·A … A Ak k个 , 称为n阶单位矩阵，简记E 显然 1