北京科技大学—材料力学—13章7-8莫尔积分.ppt

作业 13-14（图乘） 13-15 （图乘） 13-17 （积分） 13-25 （积分） 13-30 （积分） 一、推导： §13-7 单位载荷法--莫尔积分 方式一： 先加 再加 方式二： 同时加 同理： 二、莫尔积分的应用： 1、计算梁发生弯曲变形的位移： 2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移： 3、计算圆轴发生扭转变形的位移： 4、计算杆发生轴向拉压变形的位移： 5、计算桁架节点位移： 6、计算结构组合变形的位移： 三、莫尔积分的应用范围： 线弹性结构 四、 的符号的含义： 1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同 2、-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反 五、用莫尔积分计算的步骤： 1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程 2、将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷 3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程 4、将同一段的同一种内力方程相乘积分 注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证分段相同，并且每段自变量的基准点相同 A B D 考虑 ：求C点铅垂位移yc C 思考:在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时,应分几段? 所以： 其中: 为原载荷引起 的弯矩， 为单位载荷引起的弯矩， 在种类和位置上对应， 注意单位载荷一定要与所求位移： 六、莫尔积分的例题 1、计算梁发生弯曲变形的位移： 求:C点铅垂方向的位移 和B点转角 莫尔积分的应用范围： 线弹性结构 例1: 已知 2 列原载荷引起的内力方程: 3 施加单位载荷: 4 列单位载荷引起的内力方程: 5 同一段的同一种内力相乘积分 解: 求 1 求约束反力: 为此取AB 为研究对象 的正、负号的含义： 1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同 2、—：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反 求 例2：试求P力作用下，A点的竖直位移 分析： 因为力与轴线位于同一平面 所以在P力作用下，只考虑弯曲变形，即只考虑弯矩 解： 2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移： R 1 R P A B 1 列原载荷引起的内力方程: 2 施加单位载荷,列单位载荷引起的内力方程: 3 由莫尔积分求 : 3、计算桁架节点位移： P P A B C D 解： 1 1 A B C D 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 列原载荷引起的内力方程: P A B 例3：图示简单桁架，各杆 长度均为 ，且EA相同， 试求B、D两节点的相对位 移。 2 施加单位载荷: 3 列单位载荷引起的内力方程: B 1 A 1 1 A B C D 1 2 3 4 5 杆号 4 由莫尔积分求 : 杆号 P P A B C D 4、计算结构组合变形的位移： P A B C 1 A B C 例4：图示刚架，各段刚度已标出，试A 点的铅垂位移与B点的转角 解： 1 列原载荷引起的内力方程: 2 列单位载荷引起的内力方程: 设 3 同一段的同一种内力相乘积分 P A B C 1 A B C 若横截面是边长为b的正方形， 时，上述比值为： P A B C A B C 1 例5: 轴线为半圆形平面曲杆如图 a 所示,作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面,求P力作用点的垂直位移. 1 列原载荷引起的内力方程: 2 施加单位载荷: 4 积分计算位移 3 列单位载荷引起的内力方程: P 1 用莫尔积分计算的步骤： 1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程 2、将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷 3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程 4、将同一段的同一种内力方程相乘积分 注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证分段相同，并且每段自变量的基准点相同 A B D 求C点铅垂位移 C 思考:在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时,应分几段? A B D C 一、推导： ，若EI为常量，则公式可变形为： C A B A B x y §13-8 计算莫尔积分的图乘法 C C 顶点 顶点 1 二次抛物线： 2 二次抛物线： 为了计算方便，列出了比较常见图形的面积和形心坐标 三、应用图乘法的注意事项： 1、 有正负号： 原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正 原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负 2、当 为一条光滑的的曲线， 为一条折线时， 必须以折点为界,分段 图乘, 即: 可将 4、当 图很复杂时， 分成若干个简单图形,分部分图乘 3、若梁的抗弯刚度EI在整个梁上呈阶梯变化，则图乘时也要分段 5、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘， 注：综合来讲，决定图乘