1.2极限的概念.ppt

第1章 函数极限与连续 第二节 极限的概念 本节主要内容 一、数列极限 二、函数极限 三、极限的性质 一、数列极限 引例： “一尺之锤，日取其半，万世不竭。” 一根一尺长的木棒，每天取剩下的一半（即1/2），把这个过程一直进行下去，即使是无限长的时间（即万世），也不可能把这根木棒切完。 设木棒长度为1，则： 第一天，木棒长度为1/2 ； 第二天，木棒长度为1/4 ； 第三天，木棒长度为1/8； ……. 第n天，木棒长度为1/2^n ……. 这种依赖关系用函数表示： Sn 是以正整数n为自变量的函数，称为整标函数 一些简单的数列极限 前页 结束 后页 * * * * * * 1.1 函数 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算 1.4 函数的连续性 结束 1 数列的概念 定义1 数列是以正整数n为自变量的函数 ，即为整标函数 。记为： 将其函数值按自变量 n由小到大排列即构成一个数列 简记为 其中 称为数列的通项或一般项。 (1) (3) (4) (2) 数列 定义2 数列极限的定义： 对于数列 ，如果当n无限增大时，xn无限地接近于某个确定的常数a，则说a是 的极限，或称 收敛于a。记为： 1）无限接近的含义； 2）极限与变化方式无关； 3）数列的极限与有限项的数值无关。 直观上可以看出 第一章 自变量变化过程的六种形式: 本节内容 : 1.当x→x0时,f (x)的极限 2.当x→x0时,f (x)的左极限和右极限限 3.当x→∞时,f (x)的极限 4. ，f (x)的极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数极限 1 当x→x0时,函数f (x)的极限 当x→1/2时, 的值无限趋近于常数2，此时我们称当x趋近于1/2时， 函数 极限为2. 定义2 设函数 f(x)在x0的某去心邻域内有定义（ ）,如果当自变量x 趋近于x0 时,函数 f(x)的函数值无限接近于某个确定的常数 A,则称A为函数 f(x) 当x→x0时的极限， 或 1 考查函数 记为 3）x 是以任意方式趋近于 的，但在有些问题中，往往只需要考虑点x 从 的一侧趋近于 时，函数f (x)的变化趋向． 由此引入左极限和右极限。 注: 1） 在 时的极限是否存在,与 在 点 处有无定义以及在点 处的函数值无关． 2） 基本初等函数在其定义域内每一点 处的极限等于其在该点的函数值； 左极限和右极限： 如果当 从 的左侧 趋近于 (记为 ）时, 以A为极限，则称A为函数 当 时的左极限， 记为: 或 如果当 从 的右侧 趋近于 （记为 ）时, 以A为极限，则称A为函数 当 时的右极限 或 ( ) 记为： 函数的极限与左、右极限有如下关系： 定理2 注: 1)定理2 常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在； 2)当 都存在但不相等，或者两者中至少有一个不存在，函数f (x)当x→x0时的极限不存在。 2 .当x→∞时,函数f (x)的极限 如函数 当x→+∞时,函数 f (x) 无限趋近于常 数1，此时我们称1为当x→+∞时函 数f (x)的极限. -1 1 当x→-∞时,函数 f (x) 无限趋近于常数1，此时我们称1为当x→-∞时函数f (x)的极限. 定义3 如果当 无限增大时（ x→∞ ），函数 f (x)的函数值无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数f (x)当x→∞时的极限，记为 (x→∞) 或 注：1）无限接近的含义； 2） x→∞ 有两种情况，分别为x →+∞和x →-∞。 * *