数理统计教程第二章课后习题答案.doc

数理统计第二章习题解答 1.设是来自二点分布的一个子样,试求成功概率的矩法估计量. 解: 2. 已知母体均匀分布于之间,试求的矩法估计量. 解: ，。令得 ， 3. 对容量为的子样,求密度函数 中参数的矩法估计量. 解: 令 得. 4. 在密度函数 中参数的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) 令，得 。 由于 故是极大似然估计. (2) 由 令 得 5.用极大似然法估计几何分布 中的未知参数. 解:，令 得而 是P的极大似然估计. 6. 设随机变量的密度函数为，是的容量为的子样,试求的极大似然值. 解: ，。得， 又 故 7 设是取自均匀分布的母体的一个子样,其中试证:的极大似然估计量不止一个,例如都是的极大似然估计量. 解: 证:的密度函数为 ， 故 即凡满足的均为的极大似然估计. 从而(1)满足此条件，故是的极大似然估计. (2)由于故，所以也是的极大似然估计. (3)由于， 故，， 从而，故也是的LM. 8.设是取自对数正态分布母体的一个子样,即 ， 试求:的期望值和方差D的极大似然估计. 解:的密度函数为，所以， 两边对数并分别对和求寻,并令其为0,得似然方程组 ，解得 经验知和的LM为: ， 又， 从而 9. 一个罐子里装有黑球和白球,有放回地抽取一个容量为的子样;其中有个白球,求罐子里黑球数和白球数之比的极大似然估计量. 解:设罐子里有白球个,则有黑球个,从而共有个球,从罐中有放回地抽一个球为白球的概率为:，黑球的概率为从而抽球为二点分布似然方程为。 从而解得. 可验证这是R的极大似然估计. 10.为检验某种自来水消毒设备的效果,现从消毒后的水中随机抽取50升,化验每升水中大肠杆菌的个数(一升水中大肠杆菌的个数服从普哇松分布),化验结果如下: 大肠杆菌个数/升 0 1 2 3 4 5 6 升 数 17 20 10 2 1 0 0 试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时,才能使出现上述情况时的概率为最大. 解:由，设一升水中大肠杆菌个数=，又.故问题为求的极大似然估计.由，可得.由观测值代入求设.故每升水中大肠杆菌的个数平均为1时,出现上述情况的概率最大. 11．设,是取自二维正态母体的一个子样,求和的极大似然估计. 解:由L 可得似然方程为 将(1),(2)代入(3)得: (4) 由(4)代入(1),(2)得似然估计: . 12. 考虑某种离散分布 ，其中对某些可能有有连续导数,设是取自具有这种分布的母体的一个子样. 证明的极大似然估计是方程 的一个根,这里的极大似然方程与矩法方程相同. 试求为了估计下列分布而需要的极大似然方程的显式,这些分布是普哇松分布、二项分布. 解: (1)证 对求导得又由知 从而 所以似然方程可写为这与矩法方程一致. (2) 对其中 从而， 故似然方程的显式为. 对二项分布: 又 故似然方程的显式为 13. 设1是取自双参数指数分布的一个子样,密度函数 ，其中试求参数和的极大似然估计和矩法估计. 解: (1) LM估计， 故是的递增函数,取到最大可能值时可使lnL达到最大,故的极大似然估计为 由可解得的LM这. (2)矩法估计由于，故由 解得 14. 设为取自参数为的普哇松分布的一个子样.试证子样平均和都是的无偏估计.并且对任一值也是的无偏估计. 证: 对普哇松分布有, 从而 故与都是的无偏估计. 又 故也是的无偏估计. 15.设为取自正态母体的一个子样,试适当选择,使为的无偏估计. 解: 由，且相互独立可知, 从而 . 取时, 为的无偏估计. 16设母体的数学期望为方差又设和为取自此母体的两个子样.试证:是的无偏估计量. 其中 证: , 故是的无偏估计. 17. 设随机变量服从二项分布,n试求无偏估计量. 解: 由于 故 从而当抽得容量为N的一个子样后, 的无偏估计为: 18. 设是取自参数为的普哇松分布的一个子样,试求的无偏估计. 解: 由 故 从而, 所以的无偏估计为 19. 设为取自正态母体的一个子样,证明 S0 和 都是的无偏估计, 其中 . 证: (1) 由于 令, 则的的密度为 而此时 . (2) 由于令则. 利用(1)类似的方法可证 也是的无偏估计. 20. 设是取自均匀分布母体的一个子样, 分别取做的估计量,问是否分别为的无偏估计量? 如何修正