中国矿业大学计算力学课件.ppt

例15 当 的系数换成 时 有十个复根. §4 灵敏度分析 灵敏度分析是分析一个数学问题原始数据的微小变化对其解的扰动 情况。如果引起解发生较大的变化，则称该问题是病态的，否则称该 问题是良态的。它反映了解对原始数据的敏感程度。 抗干扰能力强 良态的方程组 抗干扰能力弱 病态的方程组 问题：①如何估计误差向量的大小？ ②如何对方程组的性态进行判断？衡量其病态程度? 病态与否是该问题固有的性质，与采用何种计算方法没有关系。 . §5 向量范数与矩阵范数 如何证明它? . . . 。 。 。 Re Im ? ? ? ? ? ? ? ? ? (A) 相关Matlab命令: norm(x,p) norm(x)=norm(x,2) 数 值 分 析 韩 超 Email: kdhc@163.com 参考书目 (Reference) ? 数值分析, 李庆扬编, 清华大学出版社 ? 计算方法典型题分析解集, 封建湖编, 西北工业大学出版社 ? 数值分析学习辅导习题解析, 李红编, 华中科技大学出版社 ? Numerical Analysis (Third Edition) David Kincaid Ward Cheney 数值分析（第三版）, 王国荣译, 机械工业出版社 许多科学研究与工程设计问题最终都归结为一个数学问题，它就是一个数学模型，通过求解这个数学模型，并对所获得的数据分析，达到科学的真缔与工程的完美； 但是数学模型可能非常复杂，求出它的准确解几乎不可能，因此寻求它的近似解就非常重要，如何得到它的近似解（包括解析的和数值的）？ 近似（值）是一个普遍现象，从日常生活到科学研究、工程设计无处不在，对一些复杂的（自然或社会）现象以及工程设计问题我们完全可以用近似数据去解释去完善；数值仿真已经成为科学研究与工程设计中非常重要的方法或手段。 现代计算机的发展为大量复杂数学模型的求解奠定了基础，使得数值计算技术的发展获得了巨大的支撑； 求近似数据的关键途径就是学习或研究数学问题的“计算方法”或“数值分析”，也称为“科学与工程计算”。 为什么学习数值计算方法？ 解决实际问题的理想化过程 教材内容体系 第一章 绪 论 第二章 线性方程组的直接解法 第三章 函数插值 第四章 函数逼近 第五章 数值积分法 第六章 线性方程组的迭代解法 第七章 非线性方程(组)的数值解法 第八章 数值最优化 第九章 常微分方程的数值解法 第十章 矩阵特征值问题的数值解法 第一章 绪 论 §1 课程研究的内容和构造算法的主要途径 §2 误差 §3 有效算法要具备的条件 §4 灵敏度分析 §5 向量范数与矩阵范数 §1 研究内容和构造算法的主要途径 研究数学问题数值解的计算方法， 即研究算法的。 1 哪些数学问题？ 大型线性方程组Ax=b求解; 矩阵A的特征值和特征向量计算; 非线性方程 的求解(求根); 积分 计算; 常微分方程初值问题求解; 函数逼近等 一 研究对象： 2 研究数值解的必要性 例1 常微分方程初值问题 其解析解(精确解)为: 要求计算 等近似值。 3 构造算法的主要思想 迭代法 以直线代替曲线（非线性问题线性化） 化整为零（离散化） 外推法（加速） 二 数值计算原则 好算法的三个标准： 快 — 计算步骤少，收敛速度快 准 — 数值稳定性好，计算结果可靠性高 省 — 节省计算机内存(大型稀疏矩阵问题) 快:计算步骤少，收敛速度快 例2 多项式求值的Hornor算法(秦九韶算法P7) 给定x的值，计算 的值。 ?算法1：按自然顺序计算 乘法次数＝ 加法次数＝ n ?算法2: 嵌套算法（Hornor,秦九韶） 乘法次数＝加法次数＝ n 例3 解线性方程组 ?算法1: Cramer法则 乘除法次数An＝ 假设计算机１秒钟进行 １亿=108次乘除法，共需时： (万年) ?算法2: Gauss消去法 乘除法次数： 耗时： (秒) 例5 计算积分的梯形公式与Simpson公式； 非线性方程求根，Newton法比二分法快。 例4 如FFT(快速傅立叶变换) 零乘一个数省去 2. 准:数值稳定性好，计算结果可靠性高 例6 求根 ，假设计算机有尾数为5位， ?算法1: ?算法2: 例7 计算积分 由分部积分法可得 取迭代初值 由递推公式 计算得 ?算法1: 直接积分 算法不稳定