10 数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋).doc

第十章 数项级数 §1 级数问题的提出 1．证明：若微分方程有多项式解 ， 则必有． 证明 由多项式解得 ， . 从而 ， 且 . 将上述结果代入微分方程，得 . 比较系数得递推公式如下： 由此解得，因而． 2．试确定系数，使满足勒让德方程 . 解 设，则，，故 ， ， . 将上述结果代入勒让德方程，得 . 比较系数，得递推公式如下： 由此解得 从而可以得到 . 其中取任何常数． §2 数项级数的收敛性及其基本性质 1．求下列级数的和： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 解（1）由于，故 ， 所以级数的和. （2）由于，故 . 所以级数的和. （3）． （4），因此欲求原级数的和，只需计算级数即可．对级数，设其部分和，则 ， 故 . 从而，即，因此原级数． （5）由于级数的部分和，故 ， 从中解得 . 又由于当时，，故 ， 因此． （6）级数的部分和，从而 ， 从中解得 . 因此． 2．讨论下列级数的敛散性： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 解（1）由于通项，故原级数发散． （2）由于，均收敛，故原级数收敛． （3）由于通项，故原级数发散． （4）由于 ， 从而部分和 ， 因而原级数收敛． （5）由于，从而时， ， 故原级数收敛． 3．证明定理10.2． 定理10.2 若级数,收敛，则级数也收敛，且 . 证明 设，则由已知条件知，存在有限数，使得 ， 设级数的部分和数列为，则 ， 所以也收敛，且． 4．设级数各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数，即 ， 其中，若收敛，证明原来的级数也收敛． 证明 设，则 . 由于收敛，故有界，即{}有界，即存在，使得，都有.又由于是正项级数，故，而且{}单调上升，由单调有界原理可知，原级数收敛． §3 正项级数 1．判别下列级数的收敛性： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）； （17）； （18）； （19）； （20）． 解（1）．由于，而发散，所以级数发散． （2）．对任意正整数，都成立关系式 ， 而级数收敛，由比较判别法知，原级数收敛． （3）．由于，所以级数发散． （4）．由于，而收敛，故收敛． （5）．由于，故，而收敛，由比较判别法知，级数收敛． （6）．由于，而发散，故发散． （7）．由于，故级数收敛． （8）．由于，故原级数收敛． （9）． 方法1因为，而和均收敛，故收敛． 方法2 由于对一切都成立，而收敛，故收敛． （10）．由于，而收敛，故原级数收敛． （11）．由于，因此，若收敛，则原级数收敛.考虑级数，由于，且收敛，故收敛，因而原级数收敛． （12）．由于，而收敛，因而原级数收敛． （13）．由于，而发散，因而原级数发散． （14）．由于，由级数收敛的必要条件知，原级数发散． （15）．由于，而收敛，故原级数收敛． （16）．由于，而级数收敛，故原级数收敛． （17）．由于，而级数收敛，故原级数收敛． （18）．由于极限，而对于级数，根据，故由根式判别法知，级数收敛，因而原级数收敛． （19）．对通项进行分子有理化可得 ， 由于发散，故原级数发散． （20）．由于，而级数均收敛，因而原级数收敛． 2．判别下列级数的敛散性： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）． 解（1）．由于，所以发散． （2）．由于 ， 根据达朗贝尔判别法知，原级数收敛． （3）．由于，故收敛． （4）．由于，故发散． （5）．这个级数不能用达朗贝尔判别法和柯西判别法判别，也不能用拉阿比判别法判别，但由斯特林公式可知 ， 因而，通项的极限不为0，由级数收敛的必要条件知原级数发散． （6）．因为，故收敛． （7）．由于，由柯西判别法知，原级数收敛． （8）．由于，因此，如果级数收敛，则原级数也收敛.考虑级数，由于，故它收敛，因而原级数也收敛． （9）．当时，级数显然收敛；当时，由于 因而收敛，因此原级数对一切收敛． （10）．级数的一般项，由于 ， 因而原级数收敛． 3．判别级数的敛散性： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）（是任意实数）； （8）（是任意实数）． 解（1）．当时，故当时，而收敛，由比较判别法知，原级数收敛． （2）．由于，且，故存在，当时，从而，即当时，，而级数收敛，故原级数收敛． （3）． 方法1 由于 ， 该极限为型极限，由L＇hospital法则得 ， 由Raabe判别法知，原级数发散． 方法2 由于，所以，而级数发散，由比较判别法知，原级数发散.