清华高等代数讲义(下)1.pdf

第二学期第一次课第二学期第一次课 第二学期第一次课第二学期第一次课 第五章第五章 §§3 实与复二次型的分类实与复二次型的分类 第五章第五章 §§ 实与复二次型的分类实与复二次型的分类 1．1．复复、、实二次型的规范形实二次型的规范形：： 11．．复复、、实二次型的规范形实二次型的规范形：： 定理定理 复数域上的任一二次型f 在可逆变数替换下都可化为规范形 定理定理 2 2 z 1 + L+ z r , 其中r 是f 的秩秩. 复二次型的规范形是唯一的. 秩秩 证明 证明 复数域 CC 上给定二次型) 证明证明 CC n n f = ∑∑ax x ( a = a ) ij i j ij ji i=1 j =1 设它在可逆线性变数替换X＝TZ下变为标准型 d z 2 + d z 2 + …d z 2 1 1 2 2 n n 这相当于在 CC 上n 维线性空间 V内做一个基变换 CC （η ，η ，…，η ）＝（ε ，ε ，…，ε ）T 1 2 n 1 2 n 使对称双线性函数 f（α，β）在新基下的矩阵成对角形，即 f (η ,η ) = d δ , i j i ij 设d , d , …d 中有 r个不为零。只要把η ，η ，…，η 的次序重新排列一下，就可以使不 1 2 n 1 2 n 为零的d 排在前面，而后面n－r个d 全为零。因此，不妨设 f的标准型为 i i d z 2 + d z 2 + …d z 2 （ d ≠0, i1=,2, …r ）， 1 1 2 2 r r i f 的矩阵为A=(a ),有 ij d 1     d 2 