现代控制讲义6.ppt

现代控制理论  Modern Control Theory § 3.6 能控性和能观性的对偶关系 能控性与能观性有其内在的关系，这种关系由卡尔曼提出的对偶原理确定，利用对偶关系可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统的能观性分析。 一、线性系统的对偶关系 有两个系统，一个系统∑1为 另一个系统∑2为 若满足下列条件： 式中：X1、X2：n维状态矢量； u1、u2：各为r与m维控制矢量；y1、y2：各为m与r维输出矢量；A1、A2：n*n维系统矩阵； B1、B2：n*r维与n*m维控制矩阵；C1、C2：m*n维与r*n维输出矩阵； 由此可知，∑1是一个r维输入m维输出的n阶系统，其对偶系统∑2是一个m维输入r维输出的n阶系统。对偶系统的模拟结构图如书P119 图3-11所示。 下面从传递函数矩阵来看对偶系统的关系： 对W2(s)取转置： 由此可知，对偶系统的传递函数矩阵是互为转置的。 同样， （1）系统输入—状态的传递函数阵(sI-A1)-1B1与对偶系统的状态—输出的传递函数阵C2(sI-A2)-1互为转置; （2）系统状态—输出的传递函数阵C2(sI-A2)-1与对偶系统的输入—状态的传递函数阵(sI-A2)-1B2互为转置; （3）互为对偶的系统，其特征方程式是相同的。证如下： 二、 对偶原理 互为对偶的两个系统∑1和∑2，则∑1的能控性等价于∑2的能观性，∑1的能观性等价于∑2的能控性。也就是说，若∑1是状态完能控的（完全能观的），则∑2是状态能观的（完全能控的）。 证明见书P120。 § 3.7 状态空间表达式的能控标准型和能观标准型 由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达式也不是唯一的。在实际应用中，常常根据所研究的问题的需要，将状态空间表达式化为相应的几种标准形式：如约旦标准型对于状态转移矩阵的计算，可控性和可观性的分析十分方便；能控标准型对于系统的状态反馈分析比较方便；能观标准型对于系统的状态观测器的设计以及系统辨识比较方便。 将状态空间表达式化为能控标准型和能观标准型的理论依据是状态非奇异变换不改变其能控性和能观性。但是，只有当状态完全可控时才存在可控标准型，只有当状态完全可观时才存在可观标准型。所以在将状态空间表达式化为能控能观标准型时必须首先判断系统的能控能观性。 一、单输入系统的能控标准型 (1)能控标准Ⅰ型 只有当状态完全可控时才存在可控标准型， 只有当状态完全可观时才存在可观标准型。 设线性定常单输入系统 是可控的，则存在线性非奇异变换 其中Tc1如下所示。设经非奇异变换后的系统 为 ， 称如上式的状态空间表达式为能控标准 Ⅰ型。其中 （ =0，1，，n-1）为特 征多项式： 的各项系数。 证明见书P109。 采用能控标准Ⅰ型的 ，求系统 的传递函数非常方便 。 从上式可以看出，传递函数分母多项式的各 项系数是 的最后一行的元素的负值；分子多 项式的各项系数是 阵的元素。同样可以根据 传递函数的分母多项式和分子多项式的系数，可 以直接写出系统的能控标准Ⅰ型。 例见书P111 例3-12。 (2)? 能控标准Ⅱ型 设线性定常单输入系统 是 可控的，则存在线性非奇异变换 其中Tc2如下所示。设经非奇异变换后的系 统为 二、 单输出系统的能观标准型 与变换为能控标准型的条件类似，只 有当系统状态完全能观时，系统的状态空 间表达式才可能化为能观标准型。 (1)?能观标准Ⅰ型 设线性定常单输入系统 是可观 的，则存在线性非奇异变换 其中TO1如下所示。设经非奇异变换后的系 统为 称如上式的状态空间表达式为能观标 准Ⅰ型。其中 （ =0，1，，n-1）为特 征项式： 的各项系数。 (2)能观标准Ⅱ 设线性定常单输入系统 是可观 的，则存在线性非奇异变换 其中TO2如下所示。设经非奇异变换后的系 统为 称如上式的状态空间表达式为能观标准Ⅱ型。 其中 （ =0，1，，n-1）为特征多项式： 的各项系数。 由上可知，能观标准Ⅰ和能控标准Ⅱ互为对偶； 能观标准Ⅱ和能控标准Ⅰ互为对偶。 例见书P131 例3-14。 * * 称形如上式的状态空间表达式为能控标准 Ⅱ型。例见书P129